微积分的力量+救命的数学（套装2册）

《微积分的力量》

没有微积分，我们就不会拥有手机、计算机和微波炉，也不会拥有收音机、电视、为孕妇做的超声检查，以及为迷路的旅行者导航的GPS（全球定位系统）。我们更无法分裂原子、破解人类基因组或者将宇航员送上月球，甚至有可能无缘于《独立宣言》。

有一种罕见而有趣的历史观点认为，世界被一个神秘的数学分支彻底改变了。一个最初与形状相关的理论，最终又如何重塑了文明？

我们可以从物理学家理查德·费曼的一句妙语中洞见这个问题的答案，这句话是他在与小说家赫尔曼·沃克讨论曼哈顿计划时说的。当时沃克正在为他计划写作的一部关于“二战”的长篇小说做调研，他去加州理工学院采访了参与过原子弹研发的物理学家，费曼就是其中之一。采访结束临别之际，费曼问沃克是否了解微积分。沃克坦承他并不了解，于是费曼说道：“你最好学学微积分，它是上帝的语言。”

宇宙是高度数学化的，但原因尚无人知晓。这或许是包含我们在内的宇宙的唯一可行的存在方式，因为非数学化的宇宙无法庇护能够提出这个问题的智慧生命。无论如何，一个神秘且不可思议的事实是，我们的宇宙遵循的自然律最终总能用微积分的语言和微分方程的形式表达出来。这类方程能描述某个事物在这一刻和在下一刻之间的差异，或者某个事物在这一点和在与该点无限接近的下一个点之间的差异。尽管细节会随着我们探讨的具体内容而有所不同，但自然律的结构总是相同的。这个令人惊叹的说法也可以表述为，似乎存在着某种类似宇宙密码的东西，即一个能让万物时时处处不断变化的操作系统。微积分利用了这种规则，并将其表述出来。

艾萨克·牛顿是最早瞥见这一宇宙奥秘的人。他发现行星的轨道、潮汐的韵律和炮弹的弹道都可以用一组微分方程来描述、解释和预测。如今，我们把这些方程称为牛顿运动定律和万有引力定律。自牛顿以来，每当有新的宇宙奥秘被揭开，我们就会发现同样的模式一直有效。从古老的土、空气、火和水元素到新近的电子、夸克、黑洞和超弦，宇宙中所有无生命的东西都遵从微分方程的规则。我敢打赌，这就是费曼说“微积分是上帝的语言”时想要表达的意思。如果有什么东西称得上宇宙的奥秘，那么非微积分莫属。

人类在不经意间发现了这种奇怪的语言（先是在几何学的隐秘角落里，后来是在宇宙密码中），然后学会熟练地运用它，并破译了它的习语和微妙之处，最终利用它的预测能力去重构世界。

这是本书的中心论点。

如果这个论点是正确的，那么它意味着关于生命、宇宙和万物的终极问题的答案并不是42，为此我要向道格拉斯·亚当斯和《银河系漫游指南》的粉丝致歉。但“深思”（《银河系漫游指南》中的一台超级计算机）的解题思路是正确的，因为宇宙的奥秘确实是一系列数学问题。

费曼的那句“微积分是上帝的语言”的妙语，引出了许多深奥的问题。什么是微积分？人类如何断定它是上帝的语言（或者说，宇宙基于这种语言在运转）？什么是微分方程？在牛顿的时代和我们的时代，微分方程为世界带来了什么？最后，这些故事和观点如何能被有趣且清楚易懂地传达给像赫尔曼·沃克那样的友善读者呢，他们勤于思考、充满好奇心、知识渊博但几乎没有学过高等数学？

沃克在他与费曼邂逅故事的结尾部分写道，他在14 年里始终没有抽出时间学习微积分。他的关于“二战”的长篇小说从原计划的一部变成了两部——《战争风云》和《战争与回忆》，每部都长达1 000 页左右。在完成这两部小说后，他试图通过阅读像《微积分一点通》这样的书自学微积分，但效果并不好。他翻阅了几本教科书，用他自己的话说，就是希望“遇到一本合适的书，它可以帮助像我这样对数学几乎一窍不通

的人。我在青少年时期产生了探寻存在之意义的渴求，大学期间就只学习了文学与哲学等人文学科，所以我并不知道别人口中艰涩、无趣、毫无用处的微积分竟然是上帝的语言”。在发现自己看不懂教科书之后，他聘请了一位以色列的数学家教，希望能跟着他学点儿微积分，顺便提升一下希伯来语口语水平，但这两个愿望都落空了。最后，绝望的他旁听了高中的微积分课程，但因为进度落后太多，几个月后他不得不放弃。在他走出教室时，孩子们一起为他鼓掌，他说这就像对一场可怜的表演报以同情的掌声。

我之所以写作本书，就是为了让每个人都能了解关于微积分的最精彩的思想和故事。我们没必要采用赫尔曼·沃克的方法去学习人类历史上这个具有里程碑意义的学科，尽管微积分是人类最具启迪性的集体成就之一。我们不必为了理解微积分的重要性而学习如何做运算，就像我们不必为了享用美食而学习如何做佳肴一样。我将借助图片、隐喻和趣闻逸事等，尝试解释我们需要了解的一切。我也会给你们介绍有史以来最

精致的一些方程和证明，就像我们在参观画廊的时候不会错过其中的代表作一样。至于赫尔曼·沃克，在我写作本书的时候，他已经103 岁了。我不知道他有没有学会微积分，如果还没有，这本书就很适合沃克先生。

现在你应该很清楚，我将从应用数学家的角度讲述微积分的故事和重要性。而数学史家则会选择不同的角度，纯粹数学家亦然。作为一名应用数学家，真正吸引我的是我们周围的现实世界和我们头脑中的理想世界之间的相互作用。外界的现象引导着我们提出数学问题；反过来，我们的数学想象有时也会预言现实世界中的事情。当这一切真正发生时，将会产生不可思议的效果。

要想成为一位应用数学家，既要有外向型思维，又要有广博的知识。对我们这个领域的人来说，数学并不是一个由自我附和的定理和证明构成的原始、封闭的世界。7 我们会欣然接受各种各样的学科：哲学，政治学，科学，历史，医学，等等。所以，我想给大家讲述的故事是：由微积分主宰的世界。

这是一种比以往更宽泛的微积分观，包含了数学和相邻学科中的许多分支，它们要么是微积分的“表兄弟”，要么是微积分的“副产品”。因为这种“大帐篷”观是非常规的，所以我要确保它不会造成任何混淆。比如，我在前文中说过，如果没有微积分，我们就不会拥有电脑和手机等，我的意思当然不是说微积分本身创造了所有这些奇迹。事实远非如此，科学和技术是必不可少的搭档，或者可以说是这出大戏的主角。我只想说，尽管微积分往往扮演的是配角，但也为塑造我们今天的世界做出了重要贡献。

以无线通信的发展史为例。它开始于迈克尔·法拉第和安德烈·玛那些关于磁体、电流及其不可见力场的重要事实将仍不为人所知，无线通信的可能性也永远无法实现。所以，实验物理学在这里显然起到了不可或缺的作用。

但是，微积分同样很重要。19 世纪60年代，一位名叫詹姆斯·克拉克·麦克斯韦的苏格兰数学物理学家，将电磁场的基本实验定律改写为一种可进行微积分运算的符号形式。经过一番变换，他得到了一个毫无意义的方程，显然有某种东西缺失了。麦克斯韦怀疑安培定律是罪魁祸首，并尝试修正它，于是他在自己的方程中加入了一个新项——可以化解矛盾的假想电流，然后又利用微积分做了一番运算。这次他得到了一个合理的结果——一个简洁的波动方程9，它与描述池塘中涟漪扩散的方程很像。只不过麦克斯韦方程还预言了一种新波的存在，这种波是由相互作用的电场和磁场产生的。一个变化的电场会产生一个变化的磁场，一个变化的磁场又会产生一个变化的电场，以此类推，每个场都会引导另一个场向前运动，一起以行波的形式向外传递能量。当麦克斯韦计算这种波的速度时，他发现它是以光速运动的，这绝对是历史上最令人惊喜的时刻之一。因此，他不仅利用微积分预测出电磁波的存在，还解开了一个古老的谜题：光的性质是什么？他意识到，光就是一种电磁波。

麦克斯韦的电磁波预测促使海因里希·赫兹在1887 年做了一项实验，从而证明了电磁波的存在。10 年后，尼古拉·特斯拉建造了第一个无线电通信系统；又过了5 年，伽利尔摩·马可尼发送了第一份跨越大西洋的无线电报。接下来，电视、手机和其他设备也陆续出现了。

显然，微积分不可能独立做到这一切。但同样显而易见的是，如果没有微积分，这一切就不会发生。或者更准确地说，即时有可能，也要很久之后才会实现。

《救命的数学》

与一切有关

我的儿子4岁了，爱在花园里玩耍，他最喜欢的就是挖开土层去观察一些让人起鸡皮疙瘩的小爬虫，尤其是蜗牛。如果他足够耐心，就会发现蜗牛在经历刚被挖出来时的震惊之后，会小心翼翼地从它们安全的壳里探出头来，滑过他的小手，留下黏糊糊的足迹。在他终于厌倦了这些后，他会略显无情地把那些蜗牛丢到废料堆或棚子后面的柴堆上。

去年9月，他挖出了五六只蜗牛并把它们丢掉后跑来问我：“爸爸，花园里有多少只蜗牛呀？”这是一个看似简单的问题，但我当时却想不出答案，有可能是 100 只，也有可能是1 000只。而且说实话，他可能不太清楚这两者之间的差别。不过，他的问题激起了我的好奇心：我们应怎样弄清楚这个数目呢？

我们决定进行一次实验。在接下来的周末，我们在周六的早晨出去搜集蜗牛。10分钟过去了，我们找到了23只。我从后裤兜里掏出记号笔，在每一只蜗牛背上做一个十字形标记。然后，我们又把桶里的蜗牛都放回花园里去。

一周之后，我们又去花园搜集了一次蜗牛。在这次的10分钟狩猎中，我们只捕获了18只蜗牛。经过仔细的检查，我们发现这 18 只蜗牛里有 3 只的壳上有十字标记，而另外15只则没有标记。接下来，我们将基于这些信息做估算。

思路是这样的：我们第一次捕获的 23 只蜗牛占花园里蜗牛总量的比例是一定的，我们从这个假设入手，如果我们能找到这个比例，就能根据我们捕获的数量估算花园里蜗牛的总量。因此，我们又进行了第二次采样(接下来的那个周六做的)。在这次采样中，被标记个体的比例是 3/18，它应该能代表所有被标记个体在整个花园的蜗牛中所占的比例。我们化简一下这个比例就会知道，所有被标记蜗牛占整个蜗牛群体的1/6。接下来，我们用第一个周六标记的蜗牛数量23乘以6，就能估算出花园里的蜗牛总数，即138只。

做完这个简单的心算之后，我转向我的儿子，这段时间他一直在“照看”这些蜗牛，当我告诉他我们的花园里大概生活着 138 只蜗牛时，他看着仍然黏在他手指上的蜗牛壳说：“爸爸，我不小心把它弄死了。” 好吧，现在还有 137 只。

这种简单的数学方法被称为标记重捕法，在生态学中常被用于估算动物的种群规模。你当然可以使用这种方法：做两次独立抽样，再比较两者的重叠区域。你可以用它估算本地市场上在售的彩票数量或者通过票根估算足球比赛的观众出席率，而不必逐一地清点人数。

标记重捕法也可应用于严肃的科研项目，它可以给出关于濒危动物数量波动的重要信息。它还能通过估算湖里的鱼群数量告诉渔民应该捕多少鱼。1这种方法的有效性已经远超生态学范畴，我们可以用它估算很多东西，比如，一个群体中吸毒者的数量，2或者科索沃战争中的死伤人数。3这就是简单的数学思维在实践中可以发挥的作用。对这些概念的探索将贯穿全书，而且作为一名数学生物学家，这也是我在日常工作中经常使用的方法。

《微积分的力量》

美国康奈尔大学应用数学系教授、知名教师和数学家。他为《纽约时报》《纽约客》写作数学博客，也是美国科普电台、《科学星期五》的常驻嘉宾。他的主要代表作有《x的奇幻之旅》。他目前住在纽约伊萨卡。

《救命的数学》

基特•耶茨，牛津大学数学博士毕业，现为英国巴斯大学数学生物学教授。他致力于用数学的方法解读生物系统，帮助实验者建立数学模型，回答实验解释不了的问题。作为一名数学顾问以及科学传播者，他希望通过在电视台、广播电台以及报刊上普及数学和科学教育，让更多的人了解到数学和科学实用而有趣的一面。

《微积分的力量》

微积分是人类历史上的伟大思想成就之一，也是数学领域不可或缺的一个重要分支。除此之外，我们更应该关注的事实是：如果没有微积分，人类就不可能发明电视、微波炉、移动电话、GPS、激光视力矫正手术、孕妇超声检查，也不可能发现冥王星、破解人类基因组、治疗艾滋病，以及弄明白如何把5 000首歌曲装进口袋里。

在人类文明进程中的这些具有里程碑意义的发明和发现背后，微积分究竟扮演了什么样的角色？围绕曲线之谜、运动之谜和变化之谜，毕达哥拉斯、阿基米德、伽利略、开普勒、牛顿、莱布尼茨、爱因斯坦、薛定谔等如何用微积分的“钥匙”打开了宇宙奥秘之“锁”？这些谜题的解决方案对人类文明的进程和我们的日常生活又产生了什么样的深远影响？

在《微积分的力量》书中，应用数学家兼“导游”斯托加茨将用一种“讲故事”和“看展览”的方式为你一一揭晓答案。“我们不必为了理解微积分的重要性而学习如何做运算，就像我们不必为了享用美食而学习如何做佳肴一样。我将借助图片、隐喻和趣闻逸事等，尝试解释你们需要了解的关于微积分的知识。我也会给你们介绍有史以来颇为精致的一些方程和证明，就像我们在参观画展的时候不会错过其中的代表作一样。”

在高中和大学时期，尽管我们中的许多人都对这门课程退避三舍，但斯托加茨用一种新颖独特和接地气儿的方式给我们讲述了微积分的历史。相信在读完《微积分的力量》后，我们都会对微积分有更加立体生动的认知，就像欣赏名画、名曲那样发现微积分之美。

《救命的数学》

1999年11月，莎莉•克拉克因两个年幼的孩子接连死于家中，被判谋杀罪成立，并处以无期徒刑。陪审团认定莎莉有罪的其中一项重要证据是一个统计数字——7300万 分之一。控方律师称，一个家庭中同时有两个婴儿猝死的概率微乎及微，所以肯定是莎莉谋杀了两个孩子。控方的数据从何而来？推导过程是否合理？它真的能确证莎莉是有罪的吗？

事实证明，控方计算的7300万 分之一存在明显的偏差，但可惜的是，当时的辩方、陪审团、法官都没能理解这其中的数学原理，因此造成了一次错判。2003年，在经过了多次上诉之后，莎莉终于被判无罪。

这起案件留给人们的启示是深远的，也时刻警醒着人们既要善用数据，也要对别人出具的数据保持怀疑态度，直到你确认数据的来源可靠且推理正确。

滥用数据的事例屡见不鲜，很多研究报告为了让你相信产品效果会隐藏必要的事实；一些媒体为了向你兜售观点，会只挑选对他们有利的数据；有些律师为了达到自己的目的，会有意篡改数据。

如何识别这些骗局？如何从海量数据中，得到正确的结论，不被片面的数据蒙蔽住双眼？本书将回答这些问题。毕竟，数学与一 切有关。

《微积分的力量》

引言　　　//  001

写给每个人的微积分读物 // 002

由微积分主宰的世界 // 004

微积分不只是一种语言 // 006

不合理的有效性 // 007

无穷原则 // 008

石巨人与无穷 // 010

曲线、运动和变化 // 011

第1章 无穷的故事 // 019

作为桥梁的无穷 // 023

比萨证明 // 024

极限与墙之谜 // 028

0.333…的故事 // 030

无穷多边形的故事 // 032

无穷的魅力和危险 // 033

除数为 0 的禁忌 // 034

实无穷之罪 // 036

芝诺悖论 // 037

芝诺悖论走向数字化 // 040

当芝诺悖论遇上量子力学 // 042

第2章 驾驭无穷的勇士 // 047

夹逼法与圆周率 // 051

圆周率之道 // 055

立体主义与微积分 // 057

奶酪论证 // 062

阿基米德方法 // 065

从计算机动画到面部手术 // 074

探索运动之谜 // 079

第3章 运动定律的探索之旅 // 081

亚里士多德的世界观 // 084

伽利略出场 // 088

下落、滚动与奇数定律 // 090

科学极简主义的艺术 // 093

从摆动的吊灯到GPS // 095

开普勒与行星运动之谜 // 102

开普勒第一定律：椭圆轨道 // 105

开普勒第二定律：相等的时间，相等的面积 // 107

开普勒第三定律：行星的公转周期 // 109

开普勒与伽利略的异同点 // 110

阴云密布 // 112

第4章 微分学的黎明 // 115

代数在东方的崛起 // 118

代数的兴起与几何学的衰落 // 119

代数与几何学的邂逅 // 121

方程与曲线 // 124

在一起，会更好 // 126

费马vs笛卡儿 // 126

寻找失传已久的发现方法——分析 // 129

行李箱的优化问题 // 131

费马如何帮助了美国联邦调查局？ // 135

最短时间原理 // 142

关于切线的争论 // 146

近在眼前的应许之地 // 149

第5章 微积分的十字路口 // 151

函数的作用 // 155

幂函数 // 156

指数函数 // 157

10 的次方 // 158

对数 // 161

自然对数及其指数函数 // 164

指数增长与指数式衰减的机制 // 167

第6章 变化率和导数 // 171

微积分的三大核心问题 // 175

线性函数及其恒定的变化率 // 178

非线性函数及其不断变化的变化率 // 182

作为昼长变化率的导数 // 186

作为瞬时速度的导数 // 191

第7章 隐秘的源泉 // 199

面积、积分和基本定理 // 202

运动使基本定理更直观 // 203

恒定的加速度 // 206

用油漆滚筒证明基本定理 // 210

基本定理的意义 // 213

积分学的圣杯 // 214

局部vs整体 // 219

一个孤寂的男孩 // 221

玩转幂级数 // 223

混搭大师 // 228

私密的微积分 // 229

第8章 思维的虚构产物 // 233

眨眼之间 // 237

无穷小量 // 238

2.001 的立方 // 240

微分 // 242

微分求导法 // 243

通过微分推导出基本定理 // 245

莱布尼茨是如何发现微分和基本定理的？ // 248

在微积分的帮助下对抗HIV // 255

第9章 宇宙的逻辑 // 263

自然的逻辑 // 267

二体问题 // 272

牛顿力学与《隐藏人物》 // 275

牛顿微积分与《独立宣言》 // 276

连续体与离散集 // 278

常微分方程与偏微分方程 // 279

偏微分方程与波音 787 客机 // 282

无处不在的偏微分方程 // 285

第10 章 波、微波炉和脑成像 // 287

弦理论 // 292

为什么是正弦波？ // 296

振动模态的可视化：克拉德尼图形 // 299

最值得尊崇的勇气 // 301

微波炉 // 302

为什么微波炉最初被称作雷达灶？ // 303

CT与脑成像 // 304

第11 章 微积分的未来 // 311

DNA的缠绕数 // 315

决定论及其局限性 // 318

非线性 // 320

混沌 // 322

庞加莱图 // 324

走上战场的非线性 // 326

微积分与计算机联盟 // 327

复杂系统与高维诅咒 // 328

计算机、人工智能和洞察力之谜 // 332

结语　　　//  337

小数点后 8 位 // 337

发现正电子 // 339

可以理解的宇宙 // 341

致谢　　　//  345

注释　　　//  349

《救命的数学》

前言 与一切有关

第1章  指数思维：探索指数行为的强大力量和极限

为时已晚

投资骗局

指数发育的胎儿

毁灭世界的人

核能之路

鉴别名画

冰桶挑战

指数爆发的危机

人口爆炸

加速流逝的时间

第2章  概率计算：为什么医生学好数学很重要

什么是概率？

高光时刻

上帝公式

报虚警也是一种假阳性

医学筛查中的假阳性

确定性幻觉

两次比一次更精确

第3章  有罪还是无罪：数学在法律中的应用

德雷斯福冤案

有罪推定

不能忽略的数字

独立的错误

生态谬误

检察官谬论

诺克斯案件

数学也会使人闭目塞听

第4章  不要相信“真相”：揭穿媒体统计数据的骗局

生日问题

广告中的骗局

失败的预测

特朗普的数学错误

耸人听闻的饮食报告

表述的技巧

回归均值

发现自旋

第5章  计数系统：小数点错误引发的致命灾难

位值系统

记录时间

十二进制与十进制

统一度量衡

千年虫

二元逻辑

第6章  优化：算法的无穷潜力

价值百万美元的问题

P vs NP问题

贪心算法

自然界中的算法

37%法则

保持冷静，检查你的算法

闪电崩盘

趋势爆炸

第7章  瘟疫的流行：什么决定了传染病的结束

天花的流行与疫苗的诞生

S-I-R模型

传染病的暴发和结束

HPV不只是肿瘤病毒

下一场大瘟疫

零号病人

R0和指数爆炸

控制疫情的办法

群体免疫

疫苗引发的争议

后记  将数学掌控在手

致谢

参考文献