电磁分析中的预条件方法

第1章 绪论
　　1864年，英国物理学家麦克斯韦(Maxwell)在“A dynamical theory of the electromagnetic field”一文中提出了位移电流的概念［1］，认为不仅变化的磁场能产生电场，而且变化的电场也能产生磁场，电磁场由此交替地向外传播，同时提出了麦克斯韦方程组，并首次预言了电磁波的存在。1887年，德国物理学家赫兹用火花放电的实验证实了麦克斯韦的预言，得出了电磁能量可以越过空间传播的结论。赫兹的发现轰动了全世界科学界，开启了人们研究电磁场理论及其应用的大门。随着研究的不断深入，电磁场的理论已经在航空航天、无线电通信、雷达、半导体芯片及封装、遥测遥感、生物医疗以及光电子等行业得到了广泛的应用。
　　目前，利用电磁波工作的通信、雷达设备已经在国防军事和民用领域发挥着重要的作用，与人们的日常生活息息相关。随着社会的发展，人们希望这些电磁设备的功能越来越齐全、结构越来越小型化、电磁波频谱的利用率越来越高。为了降低电磁设备的设计成本，提高设备性能，需要分析电磁设备的电磁特性，因此各种电磁设备的抗电磁干扰性及彼此间的电磁耦合研究日益引起人们的重视。理论上，以上需求都可归结为复杂的电磁分析问题，即研究电磁波和具有复杂材料构成及几何结构的物质之间的相互作用。实际设备模型的复杂性，使经典电磁学解析求解时存在较大的局限性，甚至根本无法实现。另一个有效的途径是，通过现场实验来研究实际的电磁问题，但在实际环境中开展实验的人力、物力成本巨大，研究周期长，有时因为实验条件的缺失而无法进行研究。
　　伴随着计算机技术水平的不断提高，利用计算机进行仿真的理论手段越来越受到重视。相应地，在电磁学领域内出现了多种分析电磁问题的数值算法，从而诞生了一门解决复杂电磁场理论与微波工程问题的新兴学科——计算电磁学［2，4］。在电磁学领域的科研工作者的不懈努力下，计算电磁学已经取得了丰硕的成果。随着多种新型算法的提出和改进，计算电磁学能够解决的问题也越来越复杂。计算电磁学可以看成数学方法、电磁场理论和计算机技术结合的产物。使用计算电磁方法，可避免高昂的现场测试费用，同时其数值解对电磁理论的发展和现场实验也有一定的指导意义。随着计算电磁学的发展，利用电磁仿真进行研究已经成为设计电路、天线、电磁兼容和电磁散射等实际工程应用领域内不可或缺的、甚至主要的研究手段。
　　1.1 计算电磁学发展现状
　　电磁场数值分析是根据麦克斯韦方程，利用适当的边界条件确定所关心区域内的电磁场或电流分布，进而求出所需要的物理参量。回顾计算电磁学发展的历史，早在1864年，麦克斯韦已用偏微分方程的形式给出了电磁波现象中电场和磁场的统一表达式，他的研究成果被誉为19世纪*显著的科学成就之一。而求解电磁场问题的方法归纳起来可分为三大类，第一类是解析法，第二类是数值法，第三类是半解析数值法，其中每一类又包含若干种方法。
　　经典的数学分析方法是近百年来电磁学学科发展中一个极为重要的手段。解析法包括建立和求解偏微分方程或积分方程。严格求解偏微分方程的经典方法是分离变量法；严格求解积分方程的方法主要是变换数学法。解析法的优点是：
　　(1)可将解答表示为已知函数的显式，从而可计算出精确的结果；
　　(2)可以作为近似解和数值解的检验标准；
　　(3)在解析过程中和在解的显式中可以观察到问题的内在联系和各个参数对结果所起的作用。
　　用解析法求解电磁场的边值问题可以得到精确的数值结果，并能根据参量的变化推断出解的变化趋势。但是这种方法所能解决的问题不多，满足不了不断增加的工程方面的需要。于是，人们开始致力于研究求解复杂边值问题的近似方法和数值方法。早在1897年，麦克斯韦就尝试用积分方程的数值解来计算矩形金属板间的电容量。在计算机出现以前，应用数值法求解更复杂的边值问题并非易事，但随着高速度大存储量计算机的发展和数值方法应用的日益广泛，过去看来难解的问题现在已能比较容易解决，并能得到足够精确的数值解。
　　根据问题求解域的不同，数值计算方法可分为时域和频域两大类。时域方法通常直接离散时域麦克斯韦方程，模拟电磁波的传播，随时间迭代计算，适合于宽频带特征瞬态电磁场的数值仿真，如典型的时域有限差分(finite difference time domain， FDTD)法［5，10］、时域有限元(finite element time domain， FETD)法［11，13］、时域谱元法［14，23］和时域积分方法［24，31］。时域方法的一个突出优点是可以给出关于问题空间丰富的时域瞬态信息，能更直观地反映问题的物理现象。频域方法以不包含时间变量或时间变量导数的频域麦克斯韦方程为出发点，求解系统的相位和频率响应。
　　频域方法可分为高频近似方法和低频数值方法。在高频方法分析时，电磁波和目标之间的相互作用是一种局部现象，只与作用点附近的几何结构、材质参数和入射波性质有关，而与远离该点的其他信息无关。高频近似方法适合求解电大尺寸目标散射问题，具有物理概念清晰、容易实现、计算效率高等优点。不同的几何结构需要采用不同的散射机理来处理，由于几何结构的多样性和复杂性，考虑所有的散射机理是不切实际的，所以高频方法得到的结果通常是近似解，而非精确解。高频方法大致可以分为基于射线的高频方法和基于电流的高频方法两大类。基于射线的高频方法有几何光学(graphic optics， GO)法、几何绕射理论(geometrical theory of diffraction， GTD)、一致几何绕射理论(uniform theory of diffraction， UTD)等［32，43］。基于射线的高频方法的优点是物理概念简单；缺点是实际计算时的几何判断比较复杂，并且在空间分布的电磁场会出现不连续。基于电流的高频方法有物理光学(physical optics， PO)法［34，37］、等效电磁流(method of equivalent currents， MEC)法［38，39］、迭代物理光学(iterative physical optics， IPO)法［40］等。基于电流的高频方法的优点是空间分布的电磁场可以保持连续，不会出现奇异点；缺点是不能方便地处理电磁波的多次反射作用。一种较为实用的高频方法是弹跳射线(shooting and bouncing rays， SBR)法［41，42］，该方法有效地结合了GO法和PO法的优点。
　　低频数值方法一般先离散麦克斯韦方程，再求数值解。低频数值方法计算精度高，能够有效求解几何结构和组成材质都较复杂的电磁问题。根据求解方程形式的不同，低频数值方法可以分为积分方程方法和微分方程方法。微分方程方法的代表性方法有时域有限差分（FDTD）法和有限元法(finite element method， FEM)等。FDTD法是由Yee于1966年提出的［44］，该方法直接将麦克斯韦方程组在空间网格中进行离散处理。此后，为了提高FDTD法的计算精度、建模能力以及减少对计算资源的需求等，出现了交替方向隐式时域有限差分（alternating direction implicit， finite， difference time， domain，ADI，FDTD)法、高阶时域有限差分（high order， finite difference time domain，HO，FDTD)法等［45，46］。FEM是一种在多种学科中应用较广的数值方法［47］，该方法以变分原理和剖分插值技术为基础。与FDTD法相比，FEM可以更好地模拟复杂边界问题，但其缺点是产生的矩阵的性态较差。微分方程方法的缺点之一是存在网格的数值色散误差。此外，微分方程方法采用全空间离散，为了分析开域问题需要引入截断边界条件，这样就产生了大量的未知量。因此，微分方程方法适合分析非均匀介质问题和封闭区域内的复杂电磁问题。积分方程方法的代表性方法有矩量法(method of moment， MoM)［48，49］和边界元法(BEM)［50］等。与微分方程方法相比，积分方程方法在公式中已经隐含了无穷远处的辐射边界条件。因此，积分方程方法只需对目标进行离散，其产生的未知量远远小于微分方程方法。积分方程方法主要分为基于矩量法的体积分方程(volume integral equation， VIE)方法和基于矩量法的面积分方程(surface integral equation， SIE)方法两种。由于求解SIE只需要对物体表面进行剖分，而求解VIE需要对整个物体进行剖分，所以相对于VIE方法，SIE方法只需要较少的未知量就可以解决问题。在分析均匀介质结构问题时，VIE方法和SIE方法都是可行的，但是VIE方法可以很好地处理非均匀介质的复杂结构。由于格林（Green）函数的非局部性，积分方程方法的缺点是产生的阻抗矩阵是稠密的，因而对计算机的存储量和计算量的需求分别为O(N2)和O(N3)，其中N是矩阵的维数。当未知量N很大时，就需要很大的内存和很长的计算时间。这些在现实应用中都是难以忍受的，因此需要引入快速算法来求解频域积分方程问题，主要有以下三类快速算法。
　　其一，基于格林函数展开的快速方法。快速多极子算法(fast multipole algorithm， FMA)［51，53］的思想*初由Rokhlin等提出。随后，周永祖教授课题组将其发展到求解三维Helmholtz问题，利用插值方法提出了多层快速多极子算法(multilevel fast multipole algorithm， MLFMA)［54，55］，并开发出能在高性能微机和小型工作站上解决百万量级电大尺寸目标的电磁散射问题的电磁计算软件FISC(fast Illinois solver code)。MLFMA利用加法定理对格林函数展开，通过聚合，转移，配置过程计算远场组之间的相互作用。MLFMA可以把MoM的内存和计算复杂度降为O(NlogN)，由于其解决电磁散射问题时效率高，国内外众多学者对其进行了深入的研究。White等把MLFMA用于三维静态场提取复杂结构电容参数［56］。MLFMA的后续研究主要有MLFMA并行技术［57，62］和MLFMA中的近似算法解决电大目标电磁散射，包括射线传播多层快速多极子、快速远场近似等［63，64］，MLFMA解决低频问题［65，69］，MLFMA解决复杂环境如半空间［70，73］、平面微带［74，76］、封装结构［77，78］，MLFMA加速有限元边界积分方程方法（FEBI）等［79，81］。MLFMA强烈依赖于问题格林函数，当问题的格林函数很复杂时，对其进行展开就相对复杂。有些问题的格林函数很难得到其展开形式，因此就无法采用MLFMA。类似的方法还有浙江大学的王浩刚博士等在2005年提出的多层格林函数插值方法(multilevel Green’s function interpolation method， MLGFIM)［82］，美国Purdue大学的Jiao教授等在2008年提出的H矩阵（hierarchical matrix）方法和2009年提出的H2矩阵方法［83，84］。
　　其二，基于快速傅里叶变换(fast Fourier transformation， FFT)的方法。共轭梯度快速傅里叶变换（conjugate gradient， fast Fourier transformation， CG， FFT)方法仅适用于相同的长方体网格离散的规则结构以实施卷积，对于任意形状的结构，只能用阶梯形去近似逼近。近年来又产生了基于快速傅里叶变换的自适应积分方法(adaptive integral method， AIM)［85］、预修正快速傅里叶变换（precorrected， FFT，P，FFT)方法［86］、积分方程快速傅里叶变换（integral equation， FFT，IE

《电磁分析中的预条件方法》主要介绍了预条件方法的基本理论及其在电磁分析中的应用，包括计算电磁学中的主要数值方法、Krylov子空间迭代方法、预条件技术、迭代算法的自适应加速技术、预条件技术的优化措施、基于物理模型的预条件技术、基于特征谱信息的快速迭代算法及预条件技术、高阶有限元及多重网格迭代法、高阶矩量法及多重网格方法、块迭代算法、并行预条件技术等，重点介绍了多种预条件技术在矩量法和有限元方法中的应用。

目录
前言
第1章 绪论 1
1.1 计算电磁学发展现状 2
1.2 迭代解法和预条件技术 5
1.3 内容安排 9
参考文献 10
第2章 计算电磁学中的主要数值方法 26
2.1 有限元法 26
2.1.1 电磁场边值问题 27
2.1.2 伽辽金加权余量法与里茨变分法 27
2.1.3 有限元法的步骤 28
2.1.4 数值结果 31
2.2 矩量法 35
2.2.1 矩量法的离散化过程 35
2.2.2 积分方程的选取 36
2.2.3 散射场的计算 39
2.2.4 多层快速多极子方法 40
2.2.5 并行多层快速多极子方法 44
2.2.6 数值结果 47
参考文献 49
第3章 Krylov子空间迭代方法 53
3.1 直接解法和迭代解法简介 53
3.2 迭代方法的分类 54
3.3 共轭梯度类迭代方法 55
3.4 广义*小余量迭代算法 56
3.5 常用Krylov子空间迭代算法的比较 58
3.6 常用迭代算法在体积分方程中的应用 58
3.7 常用迭代算法在表面积分方程中的应用 64
参考文献 68
第4章 预条件技术 70
4.1 预条件技术概述 70
4.2 稠密矩阵的稀疏化 71
4.3 预条件广义*小余量迭代算法 72
4.4 对角预条件技术 73
4.5 对称超松弛预条件技术 74
4.6 不完全LU分解预条件技术 74
4.7 稀疏近似逆预条件技术 75
4.8 几种常用预条件技术性能的比较 77
参考文献 82
第5章 迭代算法的自适应加速技术 84
5.1 GMRES迭代算法收敛性分析 84
5.2 基于GMRES迭代算法的自适应加速技术概述 86
5.3 Krylov子空间扩大技术 87
5.3.1 扩大子空间的广义*小余量迭代算法 87
5.3.2 松散的广义*小余量迭代算法 90
5.4 特征谱重复循环技术 92
5.4.1 隐式循环的广义*小余量迭代算法 92
5.4.2 显式循环的广义*小余量迭代算法 95
5.5 特征谱预条件的广义*小余量迭代算法 97
5.6 内外迭代技术 99
5.6.1 灵活的广义*小余量迭代算法 99
5.6.2 嵌套的广义*小余量迭代算法 102
5.7 几种加速技术性能的比较 103
5.8 其他迭代加速技术 107
参考文献 111
第6章 预条件技术的优化措施 114
6.1 对称超松弛预条件技术的有效实现 114
6.2 不完全LU分解预条件技术中的扰动技术 117
6.2.1 对角线扰动技术 117
6.2.2 MFIE主值项扰动技术 120
6.3 多层快速多极子方法中一种有效的稀疏近似逆预条件技术 125
6.4 混合预条件技术 129
6.4.1 双步混合预条件技术 129
6.4.2 SSOR预条件技术与GMRESR及FGMRES结合算法 134
6.5 多重预条件技术 138
6.5.1 多重预条件共轭梯度算法 138
6.5.2 多重预条件广义*小余量算法 139
6.6 预条件矩阵插值 142
6.6.1 基于有理函数模型的阻抗矩阵插值技术 142
6.6.2 基于有理函数模型的稀疏近似逆预条件矩阵插值技术 145
参考文献 149
第7章 基于物理模型的预条件技术 151
7.1 电场矢量有限元方程的病态特性 151
7.2 基于A-V场的预条件技术 153
7.2.1 A-V场有限元公式 153
7.2.2 数值结果与分析 155
7.3 基于转移Laplace算子的预条件技术 158
7.3.1 转移Laplace算子的预条件 158
7.3.2 数值结果与分析 160
7.4 基于吸收边界条件的预条件技术 167
7.4.1 快速多极子结合有限元方法理论及公式 167
7.4.2 利用吸收边界条件构造预条件矩阵 170
7.4.3 数值结果与分析 173
参考文献 177
第8章 基于特征谱信息的快速迭代算法及预条件技术 180
8.1 改进的扩大子空间广义*小余量迭代算法 180
8.1.1 GMRESE迭代算法基本原理 180
8.1.2 GMRESE迭代算法的收敛性能 182
8.1.3 GMRESE迭代算法的性能随参数变化情况 186
8.1.4 GMRESE迭代算法在单站RCS计算中的应用 189
8.2 基于特征谱信息的代数多重网格迭代算法 192
8.2.1 基于特征谱信息的代数多重网格迭代算法基本原理 192
8.2.2 SMG迭代算法的收敛性能 195
8.2.3 SMG迭代算法的性能随参数变化情况 197
8.2.4 SMG迭代算法在单站RCS计算中的应用 199
8.2.5 SMG性能随未知量变化情况 201
8.3 基于特征谱信息的多步混合预条件技术 203
8.3.1 基于特征谱信息的双步混合预条件技术的基本思想 203
8.3.2 基于特征谱信息的双步混合预条件技术的性能 205
8.3.3 基于特征谱信息的多步混合预条件 208
8.3.4 多步混合预条件技术在单站RCS计算中的应用 211
8.3.5 基于等级基函数的双步谱预条件技术 216
参考文献 222
第9章 高阶有限元及多重网格迭代法 224
9.1 高阶等级基函数 225
9.2 p-型多重网格预条件技术 229
9.2.1 p-型多重网格算法 229
9.2.2 数值结果与分析 231
9.3 Schwarz预条件技术 238
9.3.1 Schwarz算法概述 238
9.3.2 数值结果与分析 239
9.4 有限元的辅助空间预条件技术 243
9.4.1 ASP的基本原理 243
9.4.2 算例分析 246
参考文献 250
第10章 高阶矩量法及多重网格方法 253
10.1 基于高阶单元的Calder-n算子预条件技术 253
10.1.1 基于Calder-n算子的积分方程建立 254
10.1.2 构造基于高阶单元的Calder-n算子预条件技术 256
10.1.3 数值结果与分析 261
10.2 基于网格细分的多分辨基函数及预条件技术 269
10.2.1 基于CRWG基函数构造的多分辨基函数 270
10.2.2 多分辨预条件及其改进 274
10.2.3 多分辨预条件与快速多极子算法的结合 276
10.2.4 多分辨基函数及预条件的数值算例与分析 276
10.3 新型多重网格预条件技术研究 280
10.3.1 粗网格基函数的构造及粗网格矩阵构造 280
10.3.2 多重网格预条件的构造 282
10.3.3 数值算例分析与讨论 284
参考文献 292
第11章 块迭代算法 296
11.1 块GMRES迭代算法 296
11.2 块GMRES-DR迭代算法 297
11.3 块GMRESE迭代算法 298
11.4 块SMG迭代算法 299
11.5 数值结果 301
参考文献 305
第12章 并行预条件技术研究 306
12.1 并行计算概述 306
12.2 有限元方法中并行区域分解算法及预条件技术 309
12.2.1 并行代数域分解算法 310
12.2.2 并行撕裂对接算法 319
12.3 矩量法中并行稀疏近似逆预条件技术 328
12.3.1 近场稀疏化稀疏近似逆预条件 328
12.3.2 并行稀疏近似逆预条件构造原理 330
12.3.3 并行稀疏近似逆数值结果与讨论 335
12.3.4 并行稀疏近似逆预条件结合幂级数展开技术 343
参考文献 346