最优估计与滤波及其应用

第1章 *优估计的基本理论
　　1.1 统计参数估计
　　1.1.1 *大似然估计
　　假设表示在参数θ出现的条件下，观测数据 x的条件概率密度函数，它被称为似然函数，则*大似然估计(Maximum Likelihood Estimation，MLE)估计器为
　　(1-1)
　　注意：①在时，为*，x是不变的，而θ是变化的。当可能不是**的。③如果对于θ存在二阶导数，且则可通过来得到。④通常，可能是有偏的。
　　*大似然估计有如下性质。
　　①MLE的渐近特性。如果数据 x的似然函数满足某些“正则”条件，即对数似然函数的导数存在，且费舍尔(Fisher)信息非零，那么对于足够多的数据记录，未知参数θ的MLE渐近服从正态(高斯)分布，即MLE具有渐近无偏特性，其方差可以达到*小值，并且具有高斯分布，因此，MLE是渐近有效估计，也是渐近*优的。
　　②MLE的不变性。参数的，其中，是θ的MLE，且g是一个一一对应的函数。
　　③线性模型的*佳MLE。如果观测数据X可以由一般线性模型表示，其中，已知H是一个秩为P的矩阵，且是一个被估计的P×1参数矢量，而且n是一个概率密度函数为N(0， C)的噪声矢量，那么，θ是一个有效估计量，它的方差达到了*小。θ的概率密度函数为。
　　一般情况下，MLE的求法有两种，即求导法和搜索法。
　　1.1.2 无偏估计的克拉美-罗下界
　　1．标量参数的克拉美-罗下界(Crame-Rao Lower Bound，CRLB)
　　定理1-1假设观测数据矢量的概率密度函数满足正则性条件，该式对所有θ成立，期望是针对取的，则任意无偏估计的方差满足
　　(1-2)
　　其中，导数是在θ的真实值处取值的，期望是针对取的，令
　　(1-3)
　　式(1-3)被称为克拉美-罗下界。而
　　(1-4)
　　式(1-4)被称为 Fisher信息函数，其中。
　　进一步，当且仅当，则是一个*小方差无偏估计，且满足。
　　注意：①CRLB为所有无偏估计的性能提供一个比较的标准。②CRLB与估计算法无关，只与信号模型有关。③CRLB(θ)是一个未知参数θ的确定性函数。④无偏且达到CRLB(θ)的估计称为θ的“有效估计”。当*小方差(Minimum Variance Unbiased，MVU)估计的方差等于CRLB时，MVU估计是一个有效估计，若未达到CRLB，则不是有效估计。⑤仅适用于无偏估计，对有偏估计，另有公式。⑥因为，所以。该式便于计算，另外也说明是一个非负的函数。⑦对于独立观测，其每次观测到的是可加的。即对N次IID观测，其，其中，是一次观测的Fisher信息函数，因此。但是，对于非独立N次观测。对于完全相关的观测，附加的观测没有任何信息，即。因此，CRLB不会随数据长度的增加而减少。
　　2．标量参数变换的CRLB
　　如果，那么
　　(1-5)
　　例如，而。
　　如果若且则，是线性变换；如果不是线性变换，则将渐近达到CRLB(a)。
　　3．矢量参数的CRLB
　　定理1-2假设条件概率密度函数满足“正则”条件，其中，对于所有的的X，数学期望是对求出的，那么，任何无偏估计量的协方差矩阵满足，其中解释为矩阵是半正定，Fisher信息矩阵由下式给出
　　(1-6)
　　其中，导数是在θ的真值上计算的。另外，对于某个p维函数和某个维，其矩阵，当且仅当成立，则无偏估计量协方差矩阵可达到，并且它是MVU估计。而对于任何无偏估计，则。
　　一般情况下，是非对角矩阵。
　　4．矢量参数变换的CRLB
　　是r维函数，θ是p维矢量，则其中，解释为矩阵是半正定，是维雅可比矩阵。
　　(1-7)
　　5．一般高斯情况下的CRLB
　　假定，其中，可能是θ(θ是p维矢量)的函数。是N×1维矢量，维矩阵，则Fisher信息矩阵为
　　(1-8)
　　(1-9)
　　其中，
　　对于θ是标量的情况，
　　(1-10)
　　6．有多余未知参数的情况
　　假定是Dw维感兴趣的参数，θu是Du维不感兴趣的参数(多余)，则；利用矩阵逆公式，则
　　(1-11)
　　其中，表示多余未知参数对感兴趣参数的估计误差的影响，若是完全解耦的。
　　1.2 *小均方误差滤波器
　　1.2.1 维纳滤波器
　　基于一组不同的但相关的信号序列，估计期望信号序列，使估计的均方误差(Mean Square Error，MSE)1*小。2即目标函数为，
　　(1-12)
　　其中，是有限的和如果，估计信号为。当时，称为滤波；当时，称为平滑；当时，称为预测。如果估计信号为，称为解卷积。其中，是一个线性时不变系统的冲激响应。
　　维纳滤波器的解如图1-1所示。
　　当是有限脉冲响应(Finite Length Impulse Response，FIR)滤波器的脉冲响应时，称为FIR滤波器。当是无限脉冲响应(Infinite wnLength Impulse Response，IIR)滤波器的脉冲响应时，称为IIR滤波器。
　　图1-1 维纳滤波器
　　1.2.2 FIR维纳滤波器
　　假设是联合平稳的，它具有已知的自相关函数和已知的互相关函数，令，则信号估计
　　(1-13)
　　对于给定的整数m，确定使 MSE*小的，即
　　所以，和是正交的。因为
　　进一步，有
　　所以
　　(1-14)
　　其中。式(1-14)称为维纳-霍夫等式，它的矩阵形式为
　　(1-15)
　　其中，得到维纳滤波器的系数为
　　(1-16)
　　其中，是事先已知的互相关函数矢量。 Rx是P×P的Hermitian Toeplitz矩阵，它是事先已知的自相关矩阵。wo是维纳滤波器的*优权矢量。此时，维纳滤波器的*小均方误差(Minimum Mean Square Error，MMSE)为
　　(1-17)

《*优估计与滤波及其应用》以随机过程理论为基础，系统地论述了随机信号*优估计与滤波的基本理论和方法，重点研究了雷达信号的波达方向和极化参数的*优估计与波束形成（空域滤波）、声呐信号的矢量与空间平滑方法和基于声波测量的气流速度估计。同时针对矢量传感器阵列，《*优估计与滤波及其应用》将四元数代数理论引入阵列信号处理中，建立了信号的四元数模型和基于四元数理论的各种估计与滤波方法；将压缩感知理论融入阵列信号处理中，阐述了信号的稀疏表示模型和估计方法；介绍了各种形式的声矢量传感器阵列和电磁矢量传感器阵列的阵列模型及信号处理方法。

目录
前言
第1章 *优估计的基本理论 1
1.1 统计参数估计 1
1.1.1 *大似然估计 1
1.1.2 无偏估计的克拉美-罗下界 1
1.2 *小均方误差滤波器 5
1.2.1 维纳滤波器 5
1.2.2 FIR维纳滤波器 5
1.2.3 非因果IIR维纳滤波器 7
1.2.4 因果IIR维纳滤波器 8
1.3 *小二乘估计方法 9
1.3.1 *小二乘估计 9
1.3.2 总体*小二乘估计 12
1.4 基于特征分解的频谱估计 13
1.4.1 谐波信号模型 13
1.4.2 多重信号分类算法 15
1.4.3 旋转不变技术信号参数估计算法 18
参考文献 21
第2章 基于水声矢量传感器阵列的相干声波信号波达方向估计与跟踪 22
2.1 圆柱形阵列的情况 22
2.1.1 估计算法 22
2.1.2 性能分析 30
2.1.3 仿真验证 34
2.2 阵列位于反射边界的情况 35
2.2.1 矢量平滑算法 35
2.2.2 矢量与空间平滑算法 40
2.2.3 仿真验证 42
2.3 均匀线性阵列的情况 44
2.3.1 单快拍矢量平滑算法 44
2.3.2 跟踪算法 46
2.3.3 仿真验证 47
参考文献 48
第3章 基于声传感器阵列的气流速度估计 49
3.1 有效声速法 49
3.1.1 有效声速的声波传播模型 49
3.1.2 声压标量传感器阵列及估计算法 52
3.1.3 声矢量传感器阵列及估计算法 57
3.1.4 仿真验证 62
3.2 等效声源分析法 65
3.2.1 等效声源原理 65
3.2.2 声波质点速度测量模型 70
3.2.3 基于二维广义MUSIC的估计算法 73
3.2.4 仿真验证 75
3.3 声波传播时间测量法 76
3.3.1 测量模型 76
3.3.2 测量方法 81
3.3.3 性能分析 89
3.3.4 仿真验证 91
3.4 稀疏表示法 93
3.4.1 阵列模型的稀疏表示 93
3.4.2 稀疏协方差矩阵的迭代 96
3.4.3 仿真验证 102
3.5 鲁棒估计法 105
3.5.1 基于*小均方误差准则的迭代算法 105
3.5.2 基于H∞滤波的迭代算法 110
3.5.3 仿真验证 118
3.6 数据缺失重构法 121
3.6.1 基于网格的气流速度估计 121
3.6.2 脱离网格的气流速度估计 125
3.6.3 计算复杂度分析 127
3.6.4 仿真验证 128
参考文献 130
第4章 完全极化信号源的DOA和极化参数估计 132
4.1 电磁矢量传感器阵列模型 132
4.1.1 电磁矢量传感器阵列的测量模型 132
4.1.2 机载电磁矢量传感器阵列的测量模型 135
4.2 近场信号源的DOA、距离和极化参数估计 139
4.2.1 稀疏非均匀对称线性极化敏感阵列的测量模型 139
4.2.2 信号源方位、距离和极化参数估计 141
4.2.3 估计的**性和可识别性 143
4.2.4 仿真验证 145
4.3 远场信号源的DOA和极化参数估计 146
4.3.1 基于部分校准极化敏感阵列的估计方法 146
4.3.2 基于稀疏非均匀COLD阵列的估计方法 150
4.3.3 仿真验证 153
4.4 远场信号源的DOA和极化参数估计的四元数方法 154
4.4.1 四元数代数概述 154
4.4.2 机载极化敏感阵列四元数模型 155
4.4.3 降维MUSIC估计方法 157
4.4.4 仿真验证 159
参考文献 160
第5章 部分极化信号源的DOA和Stokes参数估计 162
5.1 基于线性互质阵列的稀疏重构算法 162
5.1.1 带有分离子阵列的互质阵列和极化信号源模型 162
5.1.2 稀疏重构算法 165
5.1.3 算法性能分析 168
5.1.4 仿真验证 170
5.2 基于L 形互质阵列的稀疏重构算法 172
5.2.1 极化信号源模型 172
5.2.2 稀疏重构算法 174
5.2.3 仿真验证 177
5.3 基于电磁矢量传感器的增强四元数算法 178
5.3.1 电磁矢量传感器的增强四元数测量模型 178
5.3.2 估计算法 180
5.3.3 仿真验证 183
5.4 基于分布式矢量传感器阵列的四元数算法 184
5.4.1 分布式矢量传感器阵列的四元数测量模型 184
5.4.2 估计算法 185
5.4.3 仿真验证 187
参考文献 188
第6章 基于四元数的阵列波束形成 190
6.1 极化阵列的四元数波束形成算法 190
6.1.1 两分量矢量传感器阵列的四元数模型 190
6.1.2 四元数MVDR波束形成算法 191
6.1.3 四元数半扩展线性波束形成算法 192
6.2 基于QMVDR的干扰和噪声抵消器 193
6.2.1 干扰和噪声抵消算法 193
6.2.2 性能分析 194
6.2.3 仿真验证 198
6.3 基于QSWL的广义旁瓣抵消器 199
6.3.1 第一阶段波束形成 200
6.3.2 第二阶段波束形成 201
6.3.3 性能分析 204
6.3.4 仿真验证 205
参考文献 206
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