数学弹性力学研究的若干进展

1. 关于胡海昌解的完备性
　　王敏中， 应用数学和力学， 1981， 2(2): 243-250
　　摘要 本文证明了对于 z 向凸的区域及另一条件下，横观各向同性的胡海昌解是完备的；反之，对 z 向不凸的区域，横观各向同性的胡海昌解是不完备的.
　　1. 引言
　　以位移表示的弹性力学方程为
　　(1.1)
　　其中 u=(u， v， w) 为位移向量，ν为 Poisson 比，
　　M. J. Boussinesq 和 B. G. Gal ekin 指出下述形式的位移是 (1.1) 式的解:
　　(1.2)
　　其中φ为双调和向量.
　　P. F. Palkoviq 和 H. Neuber 指出下述形式的位移也是 (1.1) 式的解:
　　(1.3)
　　其中 P0、P = (P1; P2; P3) 都是调和的，r = (x; y; z).
　　R. Mindlin[1] 利用向量的 Helmholz 分解，证明了 (1.1) 式的任意解都可表示成(1.2) 或 (1.3) 的形式，即解 (1.2) 和 (1.3) 是完备的，或者说它们是 (1.1) 式的通解.
　　对于横观各向同性体的弹性力学空间问题，代替 (1.1) 式的方程组是
　　(1.4)
　　胡海昌 [2] 得到方程 (1.4) 的解如下：
　　(1.5)
　　其中 F、φ适合下列两方程式：
　　(1.6)
　　式中
　　(1.7)
　　不难算出，对于各向同性的弹性体有
　　(1.8)
　　这样，解 (1.5) 和 (1.6) 为
　　(1.9)
　　其中 △4F = 0; △2φ = 0.
　　Muki[3] 在解弹性半空间问题时，也曾得到形式 (1.7) 的解.
　　本文的目的在于研究解 (1.7) 的完备性，主要结果如下.
　　定理 1 假设弹性区域 G 满足下述两个条件:
　　(1) G 是 z 向凸的，即平行于 z 轴的线段，若其两端属于 G，则全属于 G.
　　(2) 平面
　　包含在 G 中，这里.
　　则 G 上的任何弹性位移均可表成 (1.7) 的形式.
　　定理 2 假如区域 G 不是 z 向凸的，则解 (1.7) 不完备.
　　2. 定理 1 的证明
　　由于Papkoviq-Neuber 解 (1.3) 的完备性已证明 [4]，因此只要证明，存在双调和函数 F 和调和函数 ' 使下式成立:
　　(2.1)
　　这里调和函数 Pi(i = 0，1，2，3) 认为是已知的.
　　我们先假定 (2.1) 式成立，以 dx、dy、dz 分别乘 (2.1) 式的三个式子，相加得
　　其中
　　(2.3)
　　由 (2.2) 式得
　　(2.4)
　　对 (2.2) 式取 r2，利用 (2.4) 式得
　　由上式得
　　(2.5)
　　由 (2.4) 式和 (2.5) 式得
　　(2.7)
　　其中
　　按对数位势有
　　(2.8)
　　不难看出， (2.7) 式的右端仍为调和函数，同理，积分 (2.7) 式可使 A 为调和函数.
　　有了 A，利用 (2.3) 式定义 F:
　　(2.9)
　　其中
　　不难看出
　　由此
　　其中
　　(2.12)
　　(2.12) 式中的第一个积分是在 Gxy 中的线积分，由于 (2.8) 式，它与路径无关.另外，从 (2.7) 式和 (2.12) 式不难验证，(2.11) 式中的线积分与路径无关，且所定义的函数是调和的.
　　这样，容易验证 (2.9) 式所定义的双调和函数 F 和 (2.11) 式所定义的调和函数φ，它们满足 (2.1) 式. 定理证毕.
　　3. 定理 2 的证明
　　引理 1 设 T1 和 T2 是有公共部分的区域，如果 Ui (x; y) 是 Ti (i = 1; 2) 上的两个调和函数，且在公共部分相等，则
　　是 T = T1 ∪ T2 上的调和函数.
　　证明见文献 [5].
　　引理 2 设 F (x; y; z) 在连通区域 G 上调和，且
　　则
　　(3.2)
　　其中
　　证明 记
　　由 (3.1) 式有
　　其中; 故 F (x; y; z) 是 T (z) 上的调和函数. 这时将 z 仅看作一个参数. 为了证明 (3.2) 式，只需证明，对任意的，有
　　(3.3)
　　为此，设点 D＇(x; y; z)，D＇＇ (x; y; z) ∈ G，由 G 的连通性，故存在 G 中的闭曲线 L，连接点 D＇和 D＇＇. 过 L 上每点作一小球 (全在 G 中)，按 Heine-Borel 定理，可选出有限个球覆盖闭曲线 L，设这些球的球心为
　　其中.
　　过球心在 D1 和 D2 的两个球的交线，作母线平行于 z 轴的圆柱，截平面 z = z1和 z = z2 得圆 O1，O2(见图 1)，记
　　显然

《数学弹性力学研究的若干进展》收集了第一作者和他的合作者在数学弹性力学理论研究中的一些论文，涉及的内容有：各向异性弹性力学问题的通解；矩阵的广义逆与应力函数；Saint-Venant问题、广义平面应力问题和Sternberg集中力定义的弱假设——梁、板的精化理论；局部边界积分方程等价于弹性中值定理；某些裂纹、夹杂与空间问题的精确解；多种物理因素(热、磁、压电……)作用下弹性力学问题的通解等。

目录
1.关于胡海昌解的完备性 1
2.柱体平衡圣维那解的一个弱假设 10
3.在极坐标中构造平面弹性力学特解的一种方法 17
4.发散积分的有限部分在弹性力学中的应用 21
5.On the Assumption of Saint-Venant's Problem 33
6.受一般载荷的楔：佯谬的解决 41
7.关于以应力表示的弹性力学边值问题 55
8.Brebbia's Indirect Representation and the Completeness of Papkovich-Neuber's and Boussinesq-Galerkin's Solutions in Elasticity 68
9.半空间的热弹性问题||弹性通解方法的应用 73
10.两种材料组成弹性体的界面裂纹问题 90
11.半无限长圆管内 Stokes 流的入口流 96
12.General Complete Solutions of the Equations of Spatial and Axisymmetric Stokes Flow 106
13.Decay Rates for the Hollow Circular Cylinder 119
14.各向异性弹性力学一般边值问题的广义 Stroh 公式 136
15.The Anisotropic Elastic Semi-Infinite Strip 157
16.横观各向同性弹性体轴对称问题的通解及其完备性 176
17.双孔介质弹性动力学通解及其完备性 192
18.广义逆矩阵和应力函数 197
19.Complete Solution of the Linear Magnetoe-lasticity and the Magnetic Fields in a Magnetized Elastic Half-Space 205
20.Completeness and Nonuniqueness of General Solutions of Transversely Isotropic Elasticity 219
21.Stress Functions in Two-Dimensional， Three-Dimensional and n-Dimensional Elasticity 234
22.Collinear Permeable Cracks in Thermopiezoelectric Materials 241
23.Equivalence Between the Local Boundary Integral Equation and the Mean Value Theorem in the Theory of Elasticity 257
24.The Decomposed Form of the Three-Dimensional Elastic Plate 267
25.关于“平面弹性悬臂梁剪切挠度问题” 278
26.The Ellipsoidal Inhomogeneity with Imperfect Interface 284
27.具有孔洞的双周期热弹性平面问题的复势 297
28.A Note on the Limit Definition of Concentrated Loads 311
29.The Quasi Eshelby Property for Rotational Symmetrical Inclusions of Uniform Eigencurvatures within an Infinite Plate 320
30.Comment on “Stress Boundary Conditions for Plate Bending” by F.Y.M.Wan [Int.J.Solids Struct.40(2003) 4107-4123] 334
31.On the Canonical Elastic Moduli of Linear Plane Anisotropic Elasticity 336
32.The Equivalence of the Refined Theory and the Decomposition Theorem of Rectangular Beams 349
33.Three-dimensional Green's Functions for Infinite Anisotropic Piezoelectric Media 367
34.Recent General Solutions in Linear Elasticity and Their Applications 374
35.Elastic Fields for the Ellipsoidal Cavity Problem 431
36.On the Generalized Plane Stress Problem， the Gregory Decomposition and the Filon Mean Method 449
37.General Representations of Polynomial Elastic Fields 482
38.Inhomogeneity Problem with a Sliding Interface under Remote Shearing Stress 502
39.On the Assumptions of the Generalized Plane Stress Problem and the Filon Average 513
40.某些数学方法在弹性力学中的应用 525