多层复合结构振动建模理论与计算方法

第1章 绪论
　　1.1 多层复合材料结构概述
　　1.1.1 复合材料结构简介
　　复合材料是由两种或两种以上不同性质的材料，通过物理或化学手段，在宏观上组成的具有新性能的材料。各种材料在性能上互相取长补短，产生协同效应，使复合材料的综合性能优于原组成材料而满足各种不同要求。复合材料作为新型结构材料，具有比刚度高、比强度大、可设计性能好等特点。随着复合材料制造技术和各项性能指标的不断提高，由复合材料制造而成的结构部件已广泛应用于航空航天、汽车、船舶与海洋等工程领域。
　　复合材料通常有三种不同的类型。
　　（1）由纤维材料和基体材料复合而成的纤维增强复合材料。纤维材料通常是碳纤维或者玻璃纤维，机体主要是树脂基有机材料。
　　（2）由宏观颗粒材料和基体材料复合而成的颗粒复合材料。颗粒复合材料中的颗粒和基体可以是金属的，也可以是非金属的。因此，存在四种可能的组合：非金属中的金属、金属中的非金属、非金属中的非金属和金属中的金属。
　　（3）层压复合材料。由不同材料层组成，包括前两种类型的复合材料。
　　常见的复合材料结构有弥散增强结构、单向增强结构、多层复合结构、三维整体复合结构、混杂结构等几大类。其中，多层复合结构由于其结构多样性较好、参数可设计性强、性价比优等特点应用最为广泛。多层复合结构是由两层或两层以上具有不同材料性质的铺层通过物理或者化学手段，在厚度方向上按一定的排列顺序铺设形成的，各铺层在材料性能上互相取长补短，从而满足工程中的强度、刚度与抗爆抗冲击等各种需求[1，2]。例如，可以根据船舶结构各部件的不同要求，通过选材（基体和增强材质材料类型、配方及成型工艺）、铺层研究（纤维长短、铺设方向）和结构选型等来实现船舶轻量化设计。再者，由异种材料层构成的多层功能复合结构存在许多层间界面，所施加于结构上的力就会通过强化剂传递给界面基体，然后通过增强材料与基体间的中间相阻尼、基体和增强材料的黏弹性阻尼等迅速将振动能转变为热能耗散掉，从而发挥出均质材料结构无法提供的优良减振降噪性能。
　　工程上常见的多层复合结构主要有纤维增强层合结构［图1.1（a）］和夹层结构［图1.1（b）］两大类。纤维增强层合结构是由具有不同纤维铺设角度的纤维增强复合材料层按一定工艺复合形成的高性能结构。该类结构最重要的特点在于结构宏观和微观的可设计性，即通过对基层组分的合理选择和配置或者铺层方式的调整，可以获得满足不同应用需求的结构性能参数，达到物尽其用。夹层结构通常由高密度、高刚度的面板、芯材、胶黏层构成。面板主要承载拉压应力，芯材则由刚度和密度都较低的泡沫、橡胶或者蜂窝材料组成。芯材的作用是支撑面板使它们不会产生向内或向外的弯曲，彼此保持在相应的位置。芯材主要承载横向剪切和垂直载荷[3]。在实际计算中，芯材通常利用力学等效模型简化成各向同性或者异性材料层来计算。在夹层结构中，使用低密度芯材能够在重量增加不大的情况下较大幅度地增大结构厚度，从而显著提高结构的抗弯刚度。
　　图1.1 两种典型多层复合结构[4]
　　本书主要研究多层复合材料结构的结构动力学性能，下面对该类结构的特点和应用予以简要介绍。
　　1.1.2 多层复合材料结构简介
　　和传统的单层均质结构相比，具有密度小、比刚度高、比强度大、隔热、隔声、耐腐蚀及优良的可设计性能等特点的多层复合结构在航空航天、水面舰船、水下航行器等领域具有得天独厚的优势。多层复合结构在航空航天领域应用最早、范围最广。例如，欧洲空客集团研制的 A380客机大量采用了 GLARE多层复合板（玻纤增强铝合金多层复合板，见图1.2），面积多达470m2，质量约占全机结构的3%。GLARE多层复合板与相应的铝合金板相比可减重25%～30%，提高抗疲劳寿命10～15倍。波音公司推出的波音787客机的机体结构的一半左右都使用密度更小、比刚度更大、比强度更高的多层复合材料代替铝合金。和其他传统机型相比，先进复合材料的使用使得波音787客机更清洁、更安静、更高效，其中，油耗和二氧化碳排放降低了20%，氮氧化物排放降低了28%。
　　图1.2 A380客机大量采用的 GLARE多层复合板
　　复合材料具有比刚度高、比强度大、可设计性能好等特点，备受造船界重视。复合材料在海军水面舰船上的应用始于20世纪40年代，最初仅用于制造巡逻炮艇甲板室[5]。20世纪90年代后，开始应用于舰船桅杆、烟囱、整体上层建筑等。随着海洋资源的深入开发和利用，无论是军事、民用，还是救援、执法方面的船只，都对其机动性、灵活性和经济性提出了新的要求，特别是在武装攻击中，必须降低船艇的重量，以便在相同动力条件下获得更高的有效载荷，并节约燃料、降低成本。复合材料密度小、比刚度高、比强度大，在制造轻质高强的船体结构方面有着巨大的优势。例如，美军采用碳纤维复合材料建造的“短剑”（Stiletto）号高速隐形试验快艇大幅度实现了船只的整体轻量化，在艇长24.4m、宽12.2m的情况下，吃水仅0.9m，使快艇能够轻易获得较高航速；瑞典皇家海军采用复合材料夹层结构建造的维斯比（Visby）级护卫舰实现减重30%左右[5]；瑞典使用碳、玻璃纤维混杂复合材料建造的“斯米格”（Simyge）号隐形试验艇，通过舰船轻量化提高了航速，机动性能世界领先。此外，复合材料可设计性强，可以根据船舶不同部位的结构要求进行材料、铺层和结构的优化设计，从而实现良好的减振降噪、抗爆抗冲击性能。例如，德国 AIR公司研制的碳纤维环氧螺旋桨，比金属桨推进效率提高了3%～10%，重量减少了25%～30%且具有较好的阻尼性能，能够降低噪声约5dB。目前，多层复合结构在海军舰船上的应用还处于探索阶段，但集合质量轻、耐腐蚀、雷达红外隐身等优点的先进多层复合结构对当前和未来水面船舶和水下潜航器在提高安全性、隐蔽性和可靠性等方面具有重要意义。这类结构的开发受到各国海军的高度重视，美国、英国、俄罗斯和意大利等海军科技发达国家都制定了相应的技术开发和应用计划，并在舰船上推广使用[5]。美国海军新一代多用途对地打击宙斯盾舰——朱姆沃尔特级驱逐舰（DDG1000，满载排水14564t）的整个上层建筑、机库、甲板舱室和周边垂直发射系统全部由质量轻、比刚度高、比强度大、隔热的碳纤维/乙烯基酯/巴尔萨芯三明治夹芯结构制成（图1.3）。先进多层复合结构的使用极大地减轻了舰体上层结构重量，降低了结构重心，保证了较高的航速[5]。碳纤维/乙烯基酯/巴尔萨芯三明治夹芯结构还具有耐腐蚀的优点，可使舰船全寿命周期维修成本大大降低。此外，该舰的上层建筑和大型隐身雷达天线罩外层均采用高强度的纤维增强层压结构材料，中部填充分层泡沫夹芯材料，具有较好的隐身效果，使其拥有潜艇般的隐身性——在海上作业时被发现的概率远低于10%[5]。
　　图1.3 美军DDG1000舰整合式复合材料舰岛
　　近年来，具有优良吸隔声及抑振性能的多层复合消声覆盖层的设计和开发一直是各国海军关注的热点。消声覆盖层（图1.4）主要用于潜艇的非耐压壳体外表面，能够大幅度吸收敌方探测声的声能量，显著降低本艇的声目标特性，从而提高潜艇的声隐身性能和生存能力，已被世界各海军强国广泛采用[6]。美国主要采用正 N互穿网络橡胶和金属构成的层状复合吸声结构，可使3kHz时声强级降低25dB。日本主要采用抓丁橡胶及分层复合预制型消声瓦，为达到逐步过渡的目的，每层材料的声阻抗是上一层的1.5～3倍[6]。多层复合结构还应用于潜艇的各种结构，包括螺旋桨叶片、潜望镜、导流罩、指挥台围壳等[7]。例如，多层复合螺旋桨叶片一般由纤维增强复合材料和不锈钢薄层复合而成。纤维层中纤维可以沿叶片的不同方向进行敷设以减少应力集中。不锈钢薄层可以保护叶片梢部免受强烈的冲击。
　　图1.4 高性能多层复合消声覆盖层
　　可以预见，随着材料科学的发展和加工制造技术的成熟，多层复合结构在未来将会越来越广泛地用来建造工程结构系统和设备。
　　1.2 多层复合结构振动建模理论
　　关于结构力学建模研究可以追溯到18世纪。1750年，Leonhard Euler 和 Daniel Bernoulli 提出了经典梁理论并大范围用于指导埃菲尔铁塔和摩天轮的建造。1876年，G. R. Kirchhoff在假设“①中面法线在板发生弯曲时，仍保持直线且垂直中面；②在横向荷载作用下发生小挠曲时，板的中面不受拉伸”的基础上创造性地提出了经典薄板理论。与此同时， A. E. H. Love在1888年建立了薄壳理论。经典板壳理论实质上是经典梁理论的二维拓展。该理论忽略了结构内部的横向剪切和伸缩变形的影响，因此在中厚板壳和厚板壳方面无法满足计算精度要求。20世纪30年代，R. D. Mindlin在 Kirchhoff经典理论的基础上进一步考虑了结构变形时产生的横向剪切变形，提出了中厚板理论。这两大理论构成了传统板结构理论体系的两大支柱，一直沿用至今，并拓展应用到壳体结构上。传统的结构建模理论都是针对单层均质材料结构提出的，并不能直接用于多层复合结构的建模计算。和金属等单一材料结构相比，复合材料的多样性和铺层方式的复杂性给多层复合结构的理论建模提出了新的挑战。各国学者经过长期研究，发展了建模精度和计算效率各不相同的多种理论。由于篇幅限制，本节仅简要综述应用较广的几种理论。
　　目前，多层复合结构建模理论主要有：基于 Kirchhoff-Love假设的经典层合理论（classical laminated theory，CLT）、考虑横向剪切变形和转动惯量的剪切变形层合理论（shear deformation laminated theory，SDLT）、锯齿理论（zig-zag theory，ZZT）以及三维层合理论[8-14]。
　　1.2.1 经典层合理论
　　基于 Kirchhoff-Love假设的经典层合理论是经典结构理论对多层复合结构相关问题的直接应用[15-34]。经典层合理论以 Kirchhoff-Love的下列四个假设为基础：
　　（1）结构的总厚度远小于结构的其他维度，如长、宽、主曲率半径等；
　　（2）变形前垂直于结构中曲面的直线在变形后仍然保持直线，且长度没有变化；
　　（3）结构的横向正应力相对其他应力分量可以忽略不计；
　　（4）变形后，结构中曲面横法线仍然垂直于中面。
　　根据 Kirchhoff-Love假设，经典层合理论的初始位移场形式如下：
　　（1.1）
　　式中，u0，v0，w0代表结构中曲面各坐标方向上的位移分量；为结构一般的几何坐标系坐标变量。从式（1.1）可以看出，对于结构非中曲面上的任意点，经典层合理论仅用结构对应中曲面上的点的三个位移分量来描述，从而将结构从三维降为二维（或者一维）来计算。这一理论位移形式简单，位移变量少，计算效率高，但它忽略了横向剪切变形以及转动惯量对结构振动的影响，仅适用于较薄多层复合结构低频振动问题的建模计算。对于中厚和较厚多层复合结构，由于结构剪切模量小，存在较大的剪切变形，因而经典层合理论计算结果的精度非常低。即便是较薄的多层复合结构，当构成材料的横向弹性模量较小时，横向变形不容忽视，该理论的建模偏差急剧增加[19]。此外，经典层合理论也不满足位移和横向应力层间连续条件。总体而言， Kirchhoff-Love假设相当于在结构上施加了一定附加刚度，以限制结构发生剪切变形。因此，基于该理论计算的结构频率参数一般比真实值高。如图1.5所示，本书作者详细比较了不同厚长比下固支三明治夹芯方板基于经典层合理论和一阶剪切变形层合理论的计算结果与三维弹性解的偏差情况。可以发现，即使结构很薄时（厚长比 h/a为0.01），基于经典层合理论计算的第1、5、10阶固有频率的偏差分别超过了30%、50%、110%。

《多层复合结构振动建模理论与计算方法》系统介绍了多层复合结构经典层合理论、剪切变形层合理论、三维层合理论、高阶分层理论等动力学建模理论与计算方法，为多层复合结构的动力学研究提供了一套从经典简化理论到三维层合理论，从经典边值到非一致边值问题的系统化建模理论与计算方法。《多层复合结构振动建模理论与计算方法》在内容安排上有两条主线：一是以建模理论精度“从低到高”、难度“由小到大”的顺序展开，系统给出了不同建模理论的推导过程和求解方法；二是以结构建模维度“由简单到复杂”为主线，从一维复合梁结构到三维复合壳体结构，系统地给出了复合梁、板、壳结构不同结构参数、边界条件和铺层方式下的振动弹性解，并分析了相关参数的影响规律。

目录
前言
主要符号说明
第1章 绪论 1
1.1 多层复合材料结构概述 1
1.1.1 复合材料结构简介 1
1.1.2 多层复合材料结构简介 2
1.2 多层复合结构振动建模理论 5
1.2.1 经典层合理论 6
1.2.2 剪切变形层合理论 7
1.2.3 锯齿理论 11
1.2.4 三维层合理论 12
1.3 多层复合结构振动计算方法 14
第2章 经典层合理论及广义谱方法 19
2.1 概述 19
2.2 经典层合壳理论 20
2.2.1 应力和应变 20
2.2.2 能量方程 22
2.2.3 振动控制微分方程 23
2.3 经典层合板理论 24
2.3.1 应力和应变 24
2.3.2 能量方程 26
2.3.3 振动控制微分方程 27
2.4 经典层合梁理论推导 28
2.5 广义谱方法 29
2.5.1 传统谱方法简介 29
2.5.2 广义谱方法求解过程 30
2.6 数值算例 34
第3章 剪切变形层合理论 41
3.1 概述 41
3.2 一阶剪切变形层合壳理论 42
3.2.1 应力和应变 42
3.2.2 能量方程 44
3.2.3 振动控制微分方程 47
3.2.4 数值算例 49
3.3 一阶剪切变形层合板理论 50
3.3.1 基本方程 50
3.3.2 数值算例 52
3.4 一阶剪切变形层合梁理论 53
3.4.1 基本方程 53
3.4.2 数值算例 54
3.5 横向剪切变形对多层复合梁振动特性的影响 55
3.6 横向剪切变形对多层复合板振动特性的影响 58
3.7 横向剪切变形对多层复合壳振动特性的影响 59
第4章 三维层合理论及谱-微分求积混合法 62
4.1 概述 62
4.2 三维层合理论基本方程 64
4.2.1 主曲率半径及Lamé常数 64
4.2.2 几何方程及物理方程 65
4.2.3 运动微分方程及边界条件 66
4.3 谱-微分求积混合求解方法 67
4.3.1 微分求积法简介 68
4.3.2 节点选取及应变分量计算 70
4.3.3 铺层能量方程构建 73
4.3.4 铺层特征矩阵求取 74
4.3.5 整体方程列式装配 76
第5章 多层复合梁二维弹性解 79
5.1 概述 79
5.2 基本方程 80
5.2.1 结构模型 80
5.2.2 平面应力假设 82
5.2.3 二维谱-微分求积混合法 83
5.3 数值算例 86
5.4 横向伸缩变形及层间连续条件影响分析 90
5.5 复杂曲率多层复合曲梁二维弹性解 97
5.5.1 多层复合椭圆曲梁二维弹性解 97
5.5.2 多层复合抛物线曲梁二维弹性解 101
第6章 多层复合板三维弹性解 106
6.1 概述 106
6.2 基本方程 107
6.2.1 结构模型 107
6.2.2 直角坐标系下的三维谱-微分求积混合法 108
6.3 数值算例 111
6.4 横向伸缩变形及层间连续条件影响分析 115
6.5 典型多层复合板三维弹性解及其分析 124
第7章 多层复合圆柱壳三维弹性解 132
7.1 概述 132
7.2 基本方程 133
7.2.1 多层复合圆柱壳结构模型 133
7.2.2 柱坐标系下的三维谱-微分求积混合法 134
7.3 数值算例 137
7.4 横向伸缩变形及层间连续条件影响分析 139
7.5 典型多层复合圆柱壳三维弹性解及其分析 145
第8章 基于切比雪夫级数的高阶分层理论 153
8.1 概述 153
8.2 基于切比雪夫级数的高阶分层壳理论 155
8.2.1 初始位移场 155
8.2.2 应力和应变 157
8.2.3 能量方程 158
8.2.4 特征方程 158
8.3 基于切比雪夫级数的高阶分层板理论 160
8.4 基于切比雪夫级数的高阶分层梁理论 162
8.5 数值算例 164
8.5.1 多层复合梁算例 164
8.5.2 多层复合板算例 168
8.5.3 多层复合圆柱壳算例 175
参考文献 177
附录 184
附录A：多层复合曲梁第k铺层的刚度矩阵的详细表达式 184
附录B：多层复合板第k铺层的刚度和质量矩阵的详细表达式 185
附录C：作者已发表的与本书内容相关的论文 187