雕菰楼算学六种（焦循著作集）

校點説明

雕菰樓算學六種

校點説明

《雕菰樓算學六種》，由《加減乘除釋》、《天元一釋》、《開方通釋》、《釋弧》、《釋輪》、《釋橢》等六書組成，共十七卷。現將上述六書的基本情況簡述如下:《加減乘除釋》八卷、《天元一釋》二卷、《釋弧》三卷、《釋輪》二卷、《釋橢》一卷，現有的主要版本，一是《里堂學算記》本（《續修四庫全書》影印收錄），二是《焦氏叢書》本，三是《焦氏遺書》本，四是《中西算學叢書初編》本。《開方通釋》一卷，現有的主要版本是《木犀軒叢書》本（《續修四庫全書》影印收錄）。

此次整理，《加減乘除釋》、《天元一釋》、《釋弧》、《釋輪》、《釋橢》底本皆取《焦氏叢書》本，《開方通釋》底本取《木犀軒叢書》本。六書的校點過程中，也參考了近年來所出版的各種整理本。

需要説明的是，有關焦循算學的著作，還有《大衍求一釋》一卷、《乘方釋例》五卷、《焦理堂天文曆法算稿》一卷等三種，共七卷，因皆係稿本，這次均未收錄校點，俟整理“雕菰樓未刊稿”時一併補入。上述六書由孫德彩校點，我對六書所錄原文作了復校和審訂，如果校點有不當或失誤之處，敬請讀者熱情指正。

二一六年冬

陳居淵

總叙

數為六藝之一。而廣其用，則天地之綱紀，群倫之統系也。天與星辰之高遠，非數無以效其靈；地域之廣輪，非數無以步其極；世事之糾紛繁賾，非數無以提其要。通天、地、人之道曰儒。孰謂儒者而可以不知數乎?自漢以來，如許商、劉歆、鄭康成、賈逵、何休、韋昭、杜預、虞喜、劉焯、劉炫之徒，或步天路而有驗於時，或箸算術而傳之於後，凡在儒林類能為算。後之學者，喜空談而不務實學，薄蓺事而不為，其學始衰。降及明代，寖以益微，閒有一二士大夫留心此事，而言測圓者不知天元，習回回法者不知最高。謬誤相仍，莫能是正，步算之道，或幾乎息矣。欽惟我國家稽古右文，昌明數學，聖祖仁皇帝御製《數理精蕴》，高宗純皇帝欽定《儀象考成》，諸編研極理數，綜貫天人，鴻文寶典，日月昭垂，固度越乎軒轅、隸首而上之。以故海内為學之士，甄明度數，洞曉幾何者，後先輩出。專門名家，則有若吴江王曉庵錫闡、淄川薛儀甫鳳祚、宣城梅徴君文鼎。儒者兼長，則有若吴縣惠學士士奇、婺源江慎修永、休寧戴庶常震，莫不各有饌述，流布人間。蓋我朝算學之盛，實往古所未有也。江都焦君里堂，與元同居北湖之濱，少同遊，長同學。里堂湛深經學，長於三禮，而於推步數術尤獨有心得。比輯其所箸《加減乘除釋》八卷、《天元一釋》二卷、《釋弧》三卷、《釋輪》二卷、《釋橢》一卷，總而錄之，名曰《里堂學算記》。書成而囑元序之。

元思天文算法，至今日而大備，而談西學者輒詆古法為粗疏不足道，于是中西兩家遂多異同之論。然元嘗稽攷算氏之遺文，泛覽歐邏之述作，而知夫中之與西，枝條雖分，而本幹則一也。如西法三率比例即古之今有術，重測即古之重今有，借衰即衰分之列衰，叠借即盈不足之假令，今之三角即句股，借根方即立天元一，至於地為圓體，則《曾子》十八篇已言之。七政各有本天，與郄萌“日月不附天體”之説相合。月食入於地景，與張衡“蔽於地”之説不别。熊三拔《簡平儀説》寓渾於平，而崔靈恩已立義“以渾蓋為一”矣。的谷四方行測創蒙氣反光之差，而安岌已云“地有遊氣，濛濛四合”矣。其它若“天周三百六十度”，則邵康節亦嘗言之。“日周九十六刻”，則梁天監中嘗行之。以此證彼，若符節之合。然則中之與西，不同者其名，而同者其實。乃彊生畛域，安所習而毀所不見，何其陋歟!里堂會通兩家之長，不主一偏之見，於古法穿穴十經，研求三數，而折中乎劉氏徽之注《九章》。西法隨事立説，闡其隱秘，而日月五星之果有小輪與?夫日月五星本天之果為橢圓與?不則存而不論。昔蔡中郎撰《十意》未竟，上言欲思惟精意，扶以文義，潤以道術，著成篇章。今里堂之説算，不屑屑舉夫數而數之，精意無不包，簡而不遺，典而有則，所謂扶以文義，潤以道術者非邪?然則里堂是記，固將以為儒流之典要，備六藝之篇籍者矣。元少略涉斯學，心鈍不能入深，且以供職中外，斯事遂廢。今見里堂成此書，敬且樂焉。吾鄉通天文算學者，國朝以來惟泰州陳編修厚耀最精。今里堂之學，似有過之而無不及也。

嘉慶四年冬，經筵講官户部左侍郎兼管國子監算學事務阮元譔序。

加減乘除釋

雕菰樓算學六種

序

算之為術，可隨事以立名，而皆不外於乘除加減。加減者，乘除之所自出，然非乘除不足以盡加減之用，故有四者，而算法備矣。古今算家多列其目:句股旁要，量測既同，開方少廣，層累則一。差分之外，申之以均輸；方程之後，繼之以盈朒。因其小别，遂為區分，揆厥指歸，豈有岐義。夫不明其旨，則易地致惑。深究其理，則後起可推。竊以此義求之古先，蓋論法者居多，言理者絶少，即間有之，亦與法相淆，而於舉綱挈領之要未盡合也。今之為是學者，吴縣李尚之鋭，歙縣汪孝嬰萊，吾邑焦里堂循。三子者，善相資疑相析。孝嬰之學，主於約，在發古人之所未發而正其誤，其得也精。尚之之學，主於博，在窮諸法之所由立而求其故，其得也貫。理堂則以精貫之旨，推之於平易，以為理本自然，取劉徽注《九章算術》之意，著《加減乘除釋》八卷，凡弧矢之相求，正負之相得，方員凸凹之異形，齊同比例之殊制，靡不先列其綱，次疏其目，俾學者可窮源以知流，揣本而齊末。其於二子之學，蓋相輔而實相成矣。夫由疏之密，今古非有殊途。因難而易，中西本無二轍。雖稱名舉類，優絀互形。正其權輿，一言可解。古人好學深思，必曰心知其意。里堂之書，殆《周髀》以來諸書之統紀，不獨劉氏之功臣也已。三年夏五月，江都黄承吉序。

加減乘除釋卷一

劉氏徽之注《九章算術》，猶許氏慎之撰《説文解字》。士生千百年後，欲知古人仰觀俯察之旨，舍許氏之書不可。欲知古人參天兩地之原，舍劉氏之書亦不可。嘉定錢溉亭先生塘，謂《説文》一部之中，聲無統紀，因取許氏書，離析合併，重立部首，系之以聲。其書雖未成，迄今講《説文》者，頗宗其意以著書。循謂古人之學，期於實用，以乂百工，察萬品而作書契，分别其事物之所在，俾學者案形而得聲。若夫聲音之間，義藴精微，未可人人使悟其旨趣，此所以主形而不主聲也。惟算亦然。既有少廣、句股，又必指而别之，曰方田，曰商功。既有衰分、盈不足、方程，又必明以示之，曰粟米，曰均輸。亦指其事物之所在，而使學者人人可以案名以知術也。然名起於立法之後，理存於立法之先。理者何?加減乘除四者之錯綜變化也。而四者之雜於《九章》，則不啻六書之聲，雜於各部。故同一今有之術，用於衰分，復用於粟米。同一齊同之術，用於方田，復用於均輸。同一弦矢之術，用於句股，復用於少廣。而立方之上，不詳三乘以上之方。四表之測，未盡三率相求之例。踵其後者，又截粟米為貴賤衰分，移均輸為叠借互徴，名目既繁，本原益晦。蓋《九章》不能盡加減乘除之用，而加減乘除，可以通《九章》之窮。《孫子》、《張邱建》

指《孫子算經》（成書於四、五世紀，作者不詳）、《張邱建算經》（北魏）。兩書似得此意，乃説之不詳，亦無由得其會通。不揆淺陋，本劉氏之書，以加減乘除為綱，以《九章》分注而辨明之。草創於乾隆甲寅之秋。明年為齊魯遊，遂中輟。嘉慶二年丁巳，授徒村中，無酬應之煩，取舊稿細為增損，得八卷。竊比於溉亭之於《説文》，庶幾與劉氏相表裏焉。倘有缺誤，願識者補而正之。幸甚!時十二月大寒日。

以甲當甲為適足，以甲當乙為盈，以乙當甲為朒。

數之多少無定。少至於一，而絲忽之下，尚有塵沙。多至於萬，而兆秭之上，尚有溝洫。惟是兩數相比，而後為盈、為朒、為適足乃定。故算法起於相比也。論數之理，取於相通，不偏舉數。而以甲乙明之，古之次弟，皆乙下於甲，用其意，以甲當盈，以乙當朒。

以甲加甲，為倍之以乙加乙，以丙加丙，以丁加丁，并同。

兩相當，未相入也。加減則相入矣。兩甲數為適足，故相加為倍也。

以甲減甲，為減盡。

減盡之法，為除法、開方法之止境。用之於方程者尤精。蓋除法者，除其所乘。開方者，除其所自乘。故必減盡而除乃止。除法、開方法之有減盡，正也。方程馭錯糅正負，數色相錯，不可以囫圇得之。其兩色者，必先去其一色。故互乘之後，列首位者對減必盡。對減盡，則一色去矣。數既錯糅，則一色減盡。一色減之必不盡。惟三色者，兩行互有空位，互相減，而其下位者適盡，則為兩色之較適足與首位之減盡者，又異矣。如馬一，騾一，共載四石二斗。騾二，驢一，共載四石二斗。馬一，驢三，共載四石二斗。馬首位減盡，此去其一色也。右中之騾一，左下之驢三，所對皆空，而末列之載數，左右均四石二斗，減盡。此為騾一，較驢三，其載適足，與兩馬之減盡，不同也。蓋適足者，相當之名。減盡者，相入之名。相入，則兩數皆去，故曰盡。相當，則兩數尚存，故曰適。盈不足術有適足，而非出於相減。盈不足之所與適足者，隱伏不見，而所見之兩盈、兩朒，以上兩率互乘之，斷無適足之理。故方程有減盡、有適足。盈不足有適足、無減盡也。

以甲中分為半之。

半之，亦曰折半。於除法為二而一。

遞相倍為自倍，遞相半為自半。

《九章算術·衰分》云:“今有女子善織，日自倍。”術云:“置一、二、四、八、十六，為列衰。”蓋倍一為二，倍二為四，倍四為八，倍八為十六，所謂自倍也。又《盈不足》題云:“蒲生一日長三尺，莞生一日長一尺，蒲生日自半，莞生日自倍，問幾何日而長等?”又題云:“垣厚五尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問幾何日相逢?”

三分甲，以二為太半，以一為少半。

太半即大半，少半即小半。《衰分》術云“田一畝，收粟六升太半升”，《商功》術云“圓囷高一丈三尺三寸少半寸”，是也“少半寸”猶言“少於半寸”，非謂缺少半寸也。

有甲乙，欲得其中平，則相加而半之。欲仍得甲乙，則倍之而相減。

《方田》章邪田術云“并兩邪而半之”。邪田，為一句股一縱方相連形。并而半之，則成一縱方形也。箕田術云“并踵舌而半之”。箕田，為兩句股夾一縱方形。并而半之，亦成一縱方形也。推此而《商功》章城垣隄溝壍渠術云“并上下廣而半之”，《緝古算經》造仰觀臺羨道術云“半上下廣差”，又云“以上下廣差，并上下袤差，半之”。蓋無論為冪、為體、為差，有上下廣之不齊，必用是法以齊之。其《方田》章環田術云:“并中外周而半之。”《商功》章曲池術云:“并上中外周而半之，以為上袤，亦并下中外周而半之，以為下袤。”此内周小於外周，猶上廣小於下廣，故并而半之，以齊其不齊也。以不齊之邊，求積如是。若以積求不齊之邊，必倍中平廣數，減上得下，減下得上，無可疑矣。《商功》穿地為垣術云:“置垣，積尺，以深袤相乘為法，所得除得中平廣數，倍之，減上廣餘即下廣。”是也。《句股》章句弦并與股求句弦術云:“令七自乘，亦令三自乘，并而半之，以為甲邪行率。”蓋七為句弦并，三為股。凡句弦并，自乘為句乘句股并者二，句弦差乘句弦并者一。句弦差乘句弦并，同於股自乘之數。故以股自乘，并句弦并自乘而半之，適得中平。所以用為邪行率者，雖别見通率之巧句乘句弦并，加句弦差，乘句弦并，是弦乘句弦并也。於句弦并，自乘數中減去弦乘句弦并，是餘句乘句弦并也。以句乘句弦并為句率，以弦乘句弦并為弦率，因以股乘句弦并為股率。故為率之巧，而并而半之之意，則無殊也。

得數，視所求為倍者，則豫半之；視所求為半者，則豫倍之。

乘必正方而後得數。其方不正，亦必正之。則積數必浮於本數。故豫半其邊，以求其合。《方田》圭田術云“半廣以乘正從”。圭田，即兩要相等之三角形。正從，即中垂綫。以中綫為界，以左補右，成正方形，而底綫適相半也。《均輸》術云:“今有客，馬日行三百里，客去忘持衣，日已三分之一，主人乃覺，持衣追及，與之而還，至家，視日四分之三，問主人馬不休，日行幾何?”術曰:“置四分日之三，除三分日之一，半其餘以為法，副置法增三分日之一，以三百里乘之為實。”此因四分日之三，為客馬之行與主人往還之行相加之數，三分日之一，為客馬單行之數，既減去此數，餘為主人往還之數。今止用主人追及之數為率，故半之也。又《句股》葭池術云“半池方自乘”。題云:“池方一丈，葭生中央，引葭赴岸，適與岸齊，自中央至岸，適得池之半。”故亦於正而求其偏也。又:“邑方二百步，各中開門，出東門十五步有木，問出南門幾何步見之?”術曰:“出東門步數為法，半邑方自乘為實。”半邑方者，自中開門。用自門至城隅為股，適當城之半。猶葭生池之中而至岸也。《孫子算經》云:“有獸，六首四足；禽，四首二足。上有七十六首，下有四十六足，問禽獸各幾何?”術曰:“倍足以減首，餘半之，即獸。以四乘獸，減足，餘半之，即禽。”蓋每首之數十，每足之數六以一獸一禽言，倍足減首，每獸尚餘二首，故半之得獸數。以四足乘之，是為獸足共數，於禽獸共足中，減獸之共足，餘每禽二足，故半之得禽數。又:“雉兔同籠，上有三十五頭，下有四十九足

“四十九足”，《孫子算經》（《算經十書》本）作“九十四足”。，問雉兔各幾何?”術曰:“上置頭，下置足，半其足，以頭減足，以足減頭，即得。”蓋雉兩足兔四足，半之，是雉一足，兔兩足矣。一足與一頭相若，故減去頭數，所餘即兔足，有一足即一兔矣。約分之術云“可半則半之”，相其題，施其術，諸用半之之義，不外是言也。

倍與半為向背。圭田求積，半廣以乘正從，若求廣，則倍積以開方之矣。知半之理，即知倍之理也。《孫子算經》云:“今有方田，桑生中央，從角至桑，一百四十七步，問田幾何?”術云:“置角至桑，倍之，以五乘之，以七除之，自相乘，以二百四十步除之，即得。”蓋中央至角，僅得邪行之半，故倍之，而弦數乃全。凡弦自乘，倍於方田自乘，既倍為弦，則自乘而半之，可矣。今以五乘七除，七當作十，五乗不啻二除，即半之爾。又:“三雞共啄粟一千一粒，雛啄一，母啄二，翁啄四。主責本粟，三雞主各償幾何?”術云:“置粟一千一粒為實，并三雞所啄七粒為法，除之，為雞雛主所償之數。遞倍之，即得母翁主所償。”此為衰分之常法，而遞倍之者，因一、二、四為遞倍，亦相其題，施其術焉爾。

以乙加甲則差隱，以乙減甲則差見。

甲乙，其有差者也。既相加，乙即化於甲中。惟以乙減甲，則甲中去一乙，主客兩乙俱減盡。然甲本盈於乙，減去兩乙，乙盡矣。甲尚有所留，則差也。加者，容納之謂，故長短偏雜之皆渾。減者，鑒别之謂，故纖豪蔈末之盡露。二者相為用，而數可定矣。《緝古算經》謂差為多數少數。

以甲加乙，或以乙加甲，其和數等。於和數減甲得乙，減乙得甲，其較數必不等。

和，即古所謂并。較，即古所謂差。加減者，用法之名。和、較者，得數之名。甲乙本有差，相加則無差，故無論甲加乙、乙加甲，其得數必等。若復以甲乙互減之，則仍有差矣。既有差，則數自不相等也。惟和數等，故用加者，可以相通。惟較數不等，故用減者必不容相借。

以甲加乙，以乙加甲，則差平。以甲加甲，以乙加乙，則差倍。以甲加甲，以甲加乙，或以乙加甲，以乙加乙，則差如初。以丙減甲，以丙減乙，或以丁減甲，以丁減乙，則差亦如初。

甲本盈，以乙消之。乙本朒，以甲補之。故有差而無差。此互加互乘之法所由用也詳見後。甲盈，又益以甲。乙朒，止益以乙。有兩甲乙，即有兩甲乙之差，故倍之也。同加以甲，同加以乙，原數雖增，而原差不增。同減以丙，同減以丁，原數雖損，而原差不損。論數之理，甲乙不足以括之，又假丙以次乙，假丁以次丙云爾後用戊己庚辛壬癸亦然。

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陈居渊，复旦大学哲学学院教授，博士生导师。主要从事中国哲学文献学的教学和中国思想史、中国经学史与中国易学史的研究。

本书为焦循全集整理之一，包括焦循的数学著作集，分《释轮》《释椭》《释弧》《加减乘除释》《天元一释》《开方通释》六种，是当时数学研究的代表作品。焦循，清代哲学家、 数学家、戏曲理论家。字理堂（一字里堂），江苏扬州黄珏镇人，嘉庆举乡试，与阮元齐名。博闻强记，于经史、历算、声韵、训诂之学都有所成。著作有《里堂学算记》《易章句》 《易通释》《孟子正义》《剧说》等。

目錄

前言一

校點説明一

總叙一

加減乘除釋

序

加減乘除釋卷一

加減乘除釋卷二

加減乘除釋卷三

加減乘除釋卷四

加減乘除釋卷五

加減乘除釋卷六

加減乘除釋卷七

加減乘除釋卷八

天元一釋

序一

序二

天元一釋上

天元一釋下

開方通釋

開方通釋叙

開方通釋

釋弧

序一

序二

釋弧卷上

釋弧卷中

釋弧卷下

釋輪

釋輪卷上

釋輪卷下

釋橢

釋橢序

釋橢