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一位数学家、一位音乐家和一位心理学家走进一间酒吧……
几年前,在我压根儿没想过自己会写一本关于符号史的书之前,我与一些同事在科莫湖边贝拉焦村的一间小酒吧,曾有过一段对话。那位心理学家声称,符号在人类发展出言辞语言之前早已存在多时,而这些符号植根于人类最基本且原始的思想。那位音乐家则指出,现代乐谱主要源于生活在第一个千禧年之交的本笃会修士吉多· 阿雷佐,但一种更原始的符号记法形式几乎可追溯至腓尼基人的手稿。
而我,就是那位数学家,我接下来说的事让我的朋友们大吃一惊。我告诉他们,除了数字之外,数学符号——甚至代数方程式——都是相当近代的发明,而且几乎所有数学式子在15 世纪末之前都是以文字(或文辞)表述的。
“什么?”心理学家大吼说,“那乘法运算呢?你是要告诉我们没有用来表示‘相乘’的符号?”
“16 世纪之前没有……也许甚至是17 世纪之前。”
“那么等式呢?‘等于’符号是何时出现的?”音乐家问道。
“不早于……16 世纪。”
“但是欧几里得无疑使用了‘加’的符号。”心理学家说,“那毕氏定理呢?这个定理涉及了直角三角形的边长平方相加。”
“不……12 世纪之前没有表示‘加’的符号!”
当我们品味啜饮着昂贵的巴罗洛红酒时,现场陷入一阵沉思静默。
后来证明,我的说法并不正确。更久远之前,早在公元前18 世纪,埃及人便使用了表示加和减的象形文字,以人们靠近或远离的图形,分别代表数量的加或减。而不时地,数学文本中的作者大胆利用符号来作为表达的媒介。因此,从许多例证可以看出,他们尝试以图形记号来表示文字甚至整个短语。
2 世纪,巴赫沙里手稿中用看起来像现代加号的符号来记录负数。3 世纪,亚历山德里亚的丢番图使用一个希腊字母来表示未知数,并利用类似朝上的箭头符号来代表减。7 世纪,印度数学家婆罗门笈多(Brahmagupta)使用小黑圆点,代表我们现在称作“零”的这个新数目。到了15 世纪下半叶,现代的符号才开始羞怯地进入数学的世界。当然,长久以来,人类用以表示整数的符号一直存在。
在小酒馆那一晚,我没意识到自己估算符号使用的时间应该再早几个世纪。可以确定的是,丢番图在3 世纪已用了一些他自己的标示方式:然而,12 世纪之前,符号并未在符号化的层次上进行运算式操作—意即未被使用于方程式的纯符号式运算。或许我该宣称,正确的说法是,在16 世纪之前大部分数学式子都是以文字表述的,这个结论把大家的惊讶程度推到了最高点。
自从那次谈话之后,我发现绝大多数人对于16 世纪之前的数学记法不是真正的符号这件事,感到非常惊奇。我们也想知道的是,以符号的形式来讨论代数,有什么样的好处?又有什么不足呢?追溯符号的根源,可知它们是一种借由物质表象或信息传递中的模式与构制,来进行感知、认识与创造意义的手段。
“symbol”(符号)这个字来自希腊文里代表“token”(象征)或“token of identity”(身份的象征)之义的词,它结合两个字根:sum(一起)和动词ballo(丢掷)。对“符号”一词较宽松的诠释是“放在一起”。这个词源来自一种古老的证明方式,证明某物身份或某物与他物之间的关系。一根木棒或骨头被劈成两半,关系中的每一个人各取其半。为了核证这个关系,这两半必须可以完美地契合。
再从更深的层次来看,“符号”一词意味着,当熟悉的事物与不熟悉的事物被放在一起时,会创造出某种新事物。或者以另一种方式来说,当一个未被感知的想法与已感知的想法契合时,新的意义浮现。更确切地说,符号是:连接已感知与未被感知的想法时所得出的意义。数学符号真能达成这样的目的吗?它们真的必然满足上述关系吗?或许符号与记法之间存在一种差异。记法来自速记,让词语简略。如果将符号视为为我们提供潜意识思考的记法,想想“+”的情况。这只是一个记法,起初源自于拉丁文et 的速记。是的,它来自et 中的“t”。1489 年,我们在威德曼的著作《各种职业中快速且工整的计算》中发现这个记法。它的意义是一种数学运算,如同“and”这个词。
“+”被用于诸如2 + 3 = 5 的算术表达中,仅告诉我们2 与3 之和记作5。
……
约瑟夫•马祖尔是美国马尔波罗学院荣誉数学教授,他教授的课程涵盖与数学相关的各领域,包括数学史和数学哲学。其兄长为哈佛大学著名数学教授巴瑞•马祖尔。
马祖尔是一位著名的科普作家,他在书中叙述了我们的数学符号系统发展曲折诡谲的历程,检视过去两百年间史学家对数系起源的争论,详查细究各文化中关于数的数学史和基本原理。同时他也研究了数学符号在潜意识上和心理学上对数学思考、意义、表达方式、理解力的作用,并且探究了这些符号如何透过“相似”、“结合”、“恒等”、“类似”、“重复意象”来影响我们,如何借由潜意识的结合得出新概念,如何在经验与未知之间建立连结,还有它们如何象征了人类的抽象知识提升到一个完全不同的层次。
2 + 3 = 5,一个完美的数学句子,有主词、连接词和动词,一秒就能读懂。
如果没有“+”和“=”,没有“2”“3”“5”,这个数学表达,如何才能变得简洁明了?
符号是怎么来的?
数学符号是怎么来的?
在数字和符号诞生之前,人类是怎样进行数的记录和计算的?
这个全人类都懂的表达方式是如何一步一步演变成今天的样子?
这些看似平凡的符号为我们的世界带来了何种天翻地覆的变化?
从数千年前的美索不达米亚平原讲到17世纪科学革命至今,从丝路讲到波斯御道,从中国讲到西方,《人类符号简史》叙述了数学符号系统发展背后引人入胜的故事,详细说明了符号在人类文明起源之初的有趣形态,揭示了符号演化过程中人类思维的神奇转变。
全书以符号和数字这种独特的脉络来解读世界史,由原始人类最初的计算需求开始,逐一向读者解读了符号从无到有的规律成因,讲述了符号发展背后的历史故事,让我们审视人的思维是如何由虚到实、化繁为简,是一部不可多得的有关人类历史的百科全书式的作品。
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