薄膜体声波谐振器结构分析的二维振动理论

第1章 绪论
　　1.1 声波器件基础
　　1.1.1 体声波与声表面波
　　体声波(bulk acoustic wave， BAW)是指在固体中传播的弹性波，按照传播方向与质点运动方向的不同可分为纵波(或称压缩波)及横波(或称剪切波)，如图1.1所示[1]。纵波的偏振方向与传播方向平行，而横波的偏振方向与传播方向垂直。在三维模型中，为了方便区分，通常将质点偏振方向与材料表面进行对应，偏振方向垂直于材料表面的剪切波称为竖直剪切波(shear-vertical wave， SV波)，偏振方向平行于材料表面的剪切波称为水平剪切波(shear-horizontal wave， SH波)。需要强调的是，在压电晶体等各向异性材料中，并不存在纯压缩波和纯剪切波，这两种波相互耦合成准压缩波和准剪切波。
　　图1.1 固体中的体声波
　　用物体在半无限介质表面敲击，能够激励声波在介质中传播，如图1.2所示[1]。根据能量守恒定律，能量密度随渗透距离的增加而衰减，能量集中分布于介质表面。这种沿介质表面传播的弹性波被称为声表面波(surface acoustic wave， SAW)。不同的边界条件和传播介质组合能够激发出不同形式的声表面波，包括瑞利波、广义瑞利波、 SH型声表面波、漏波、 BG(Bleustein-Gulyaev)波等。
　　图1.2 声表面波的激励和传播
　　体声波和声表面波是各种声波器件的基础，广泛应用于检测、通信、传感等多个领域[2]。在器件结构中，声波以一系列频率进行振荡，其频率大小、波型及*终器件的性能表现都与结构的形状、材料、几何尺寸等直接相关，因此本书介绍的声波器件振动理论研究及相应的建模仿真工作具有重要的工程意义。
　　1.1.2 基本压电方程
　　压电材料是一种受到压力作用时会在两端面间产生压电电荷的晶体材料，也是各类声波器件的主要功能材料。1880年，法国物理学家 P.居里和 J.居里兄弟发现，将重物放置于石英晶体上，晶体表面会产生电荷，且电荷量与压力呈比例关系，这一现象即为压电效应。随后，居里兄弟又发现石英晶体的逆压电效应，即在外电场作用下压电体会产生形变。压电效应的机理是：具有压电性的晶体对称性较低，当结构在外力作用下发生变形时，晶胞中正负离子的相对位移使正负电荷中心不再重合，导致晶体发生宏观极化，而晶体表面电荷面密度等于极化强度在表面法向上的投影，所以压电材料受压力作用形变时两端面会出现异性电荷；反之，压电材料在电场中发生极化时，会因电荷中心的位移导致材料变形。利用压电材料的这种特性可以实现机械振动(声波)和交流电的相互转换，因而压电材料被广泛应用于声波的激励和检测中。
　　Tiersten在 Linear Piezoelectric Plate Vibrations一书中，基于小变形假设，系统地推导了用于描述压电体变形的线弹性压电理论，本节将对基本压电方程进行简要的概括。对于无体力及外力作用的压电体，应力运动方程为[3]
　　(1.1)
　　式中，T表示应力；ρ表示压电体的密度； u表示位移。静电场高斯方程为
　　(1.2)
　　本构方程为
　　(1.3)
　　式中，c为弹性常数；e为压电系数；ε为介电常数； S代表应变；E代表电场； i、 j、k、l代表张量指标。几何方程为
　　(1.4)
　　式中，φ表示电势。在实际分析过程中，为方便运算，通常采用缩并指标对上述方程中的张量指标进行替换。将指标 ij或 kl替换为 p或 q，i、j、k、l取值范围为1～3，p、q取值范围为1～6，具体的对应关系已在表1.1中列出。
　　表1.1 张量指标与缩并指标的对应关系
　　压电方程中，指标替换前后各个物理量的对应关系为
　　(1.5)
　　采用缩并指标表示的弹性常数 c、压电系数 e、介电常数ε均可表示为矩阵形式，它们的具体数值可在参考文献[3]中查得。
　　1.2 FBAR简介
　　1.2.1 FBAR的发展
　　薄膜体声波谐振器的设计灵感来源于石英谐振器。20世纪60年代，为提高石英谐振器的工作频率范围，研究者提出了一种基于硫化镉薄膜的复合谐振器，然而由于材料加工工艺不够成熟，这种谐振器未能实现具体的工程应用[4]。而同一时间，微电子技术的飞速发展带动了 SAW器件的发展，在加工工艺、生产成本、稳定性等方面， SAW器件具有显著优势，也因此成为当时市场上应用*为广泛的一种频控器件。信息技术的进一步发展，对谐振器的性能需求也越来越高，微尺寸、高频率、集成化等成为主要发展方向， SAW器件在这些方面存在明显的技术瓶颈，研究人员开始重新将目光转向薄膜谐振器的研究[5]。到20世纪80年代，国际上多个研究组报道了有关薄膜谐振器的研究成果，标志着薄膜体声波谐振器的诞生，同时谐振器的工作频率也得到了显著的突破，由100MHz跃升至500MHz[6-9]。此后，更多研究者投入薄膜谐振器的相关研究工作中，器件的材料、结构、工艺等技术得到了优化与改善。20世纪90年代，薄膜谐振器的工作频率可以稳定地达到 GHz的超高频率(ultra-high frequency， UHF)范围，“FBAR”一词也正式进入人们的视野[10，11]。
　　1.2.2 FBAR的基本结构
　　FBAR的基本结构与常见的石英谐振器不同，早期结构为上电极层、压电薄膜、下电极层、基底组成的复合板结构。其中，基底层是溅射镀膜工艺中必不可少的基础结构。由于基底层本身不具备压电效应，其中分布的振动能量无法转换为电能，因而器件整体的机电转换效率较低。如何设计 FBAR的构型、改进其加工工艺，以消除基底层的不利影响，成为 FBAR技术研究的一个重要方向。
　　图1.3是为早期的薄膜谐振器结构，其压电薄膜厚度远小于基底层，这种结构的谐振器也被称为多模谐振器(over-moded resonator)。如前所述，多模谐振器的机电转化系数较低，不能作为理想的电子器件结构。此外，多模谐振器在工作时会激发出多个频率相近的厚度方向模态，造成实际器件应用时工作频率识别与选择方面的困难。这些特性限制了这种结构在无线通信领域的应用，仅在压电换能器方面有一些成功应用的案例[12-15]。
　　图1.3 早期薄膜谐振器基本构型截面图随着研究的不断深入及制备工艺的成熟， FBAR的构型得到了显著的优化，
　　基底层的不利影响也得到了良好的抑制。图1.4给出了目前比较常见的两种 FBAR结构，分别是硅基底反刻蚀型及空气隙型[5]。这两种构型的基本工作原理类似，都是利用空气阻抗近似为零的特点，在 FBAR下表面形成声波边界，从而将振动能量集中于压电薄膜区域，减少工作时的机械能损耗。在基底及下电极层之间，通常还需保留一层附加弹性层，以起到温度补偿或绝缘的作用[16-19]。
　　图1.4 常见 FBAR的基本构型截面图
　　另一种应用较多的 FBAR构型为固态装配型(solidly mounted resonator)结构(图1.5)，其工作原理与前两种结构略有不同，在加工时利用交替沉积高低声阻材料的方法在底部形成布拉格反射层，使得厚度方向的振动位移在薄膜外侧快速衰减，从而将大部分的机械能约束在压电薄膜区域，获得较高的机电耦合系数[20]。
　　图1.5固态装配型 FBAR基本构型截面图 Z1、Z2、Z3表示不同材料的阻抗
　　本书关于二维振动理论的研究工作，主要针对如图1.4所示的两种 FBAR结构展开。针对硅基底反刻蚀型及空气隙型 FBAR的核心工作区域，提取出如图1.6所示的多层板简化模型[20，21]。
　　图1.6 FBAR主要工作区域的简化模型
　　1.2.3 几种常见的工作模态
　　按照 FBAR的电极排布形式，我们还可以将 FBAR分为横向电场激励的声表面波型及纵向电场激励的体声波型，如图1.7所示。两者中应用较广泛的是体声波型结构，也是本书选定的研究对象[22]。
　　图1.7 FBAR激励方式

薄膜体声波谐振器(FBAR)是一种利用压电效应制成的高精度频率基准器件，广泛应用于通信与传感领域。与传统谐振器相比，FBAR具有高频率、微尺寸、易加工、易集成等优势，更符合现代电子器件的发展趋势。然而，FBAR的结构振动分析涉及结构的复杂性、材料各向异性、高频率振动、多模态耦合、多物理场耦合等多方面的技术难题，目前，无论在学术界还是工业界，依然缺乏高效可靠的理论分析工具供研发人员使用。《薄膜体声波谐振器结构分析的二维振动理论》从线弹性压电理论出发，详细介绍两种适用于FBAR结构振动分析的二维近似理论，即基于幂级数展开法的高阶板理论及基于小扰动假设的二维标量微分方程理论。通过介绍这两种近似方法的应用，探讨FBAR结构振动分析中的一系列常见问题，包括模态耦合效应的基本规律、能陷效应及其应用、寄生模态的特征分析及抑制等。

目录
序言
前言
第1章 绪论 1
1.1 声波器件基础 1
1.1.1 体声波与声表面波 1
1.1.2 基本压电方程 2
1.2 FBAR简介 3
1.2.1 FBAR的发展 3
1.2.2 FBAR的基本结构 4
1.2.3 几种常见的工作模态 6
1.3 FBAR的力学简化模型 8
1.3.1 一维无限大板模型 8
1.3.2 二维截面模型 9
1.3.3 等效三维模型 10
1.3.4 三维精确模型 10
参考文献 11
第2章 FBAR的频散曲线 15
2.1 简介 15
2.2 模值收敛算法 16
2.2.1 寻找函数模的局部极小值点 16
2.2.2 从局部极小值点中区分出零点 17
2.2.3 纯实数、纯虚数频散方程的求解 19
2.3 FBAR频散方程 19
2.4 结果与讨论 23
2.5 总结 26
参考文献 26
第3章 TE-FBAR二维高阶板理论建立 27
3.1 理论基础 27
3.1.1 二维高阶板理论 27
3.1.2 二阶理论 28
3.1.3 修正系数 30
3.2 FBAR的二维二阶板理论 31
3.3 频散关系验证 33
3.4 结果与讨论 35
3.5 总结 37
参考文献 37
第4章 TE-FBAR二维板理论应用 39
4.1 理论基础 40
4.1.1 状态向量法 40
4.1.2 导纳计算方法 42
4.2 完全覆盖电极模型 44
4.2.1 完全覆盖电极模型背景介绍 44
4.2.2 传递矩阵基本方程 45
4.2.3 完全覆盖电极模型自由振动分析 46
4.2.4 完全覆盖电极模型受迫振动分析 49
4.3 部分覆盖电极模型 54
4.3.1 部分覆盖电极模型背景介绍 54
4.3.2 部分覆盖电极模型传递矩阵方程 54
4.3.3 部分覆盖电极模型振动分析 55
4.4 TE-FBAR：Frame型结构 58
4.4.1 Frame型结构背景介绍 58
4.4.2 Frame型结构传递矩阵方程 59
4.4.3 Frame型结构振动分析 60
4.5 总结 65
参考文献 66
第5章 TS-FBAR二维板理论建立 69
5.1 简介 69
5.2 理论基础 70
5.2.1 三维弹性理论 70
5.2.2 二维一阶板理论 72
5.2.3 修正系数 76
5.2.4 频散关系验证 78
5.3 二维截面模型 79
5.3.1 理论推导 79
5.3.2 完全覆盖电极模型 82
5.3.3 单端/双端口模型 85
5.3.4 Frame型结构 94
5.4 总结 99
参考文献 100
第6章 TS-FBAR二维板理论应用：等效三维模型 103
6.1 理论基础 103
6.1.1 简介 103
6.1.2 TS-FBAR简化二维板理论 104
6.1.3 结果与讨论 106
6.2 高阶板理论的有限元解法 107
6.3 等效三维模型的耦合振动 109
6.4 总结 120
参考文献 121
第7章 TE-FBAR二维标量微分方程的建立 122
7.1 简介 122
7.2 理论基础 123
7.2.1 纯厚度拉伸振动 124
7.2.2 小扰动假设 128
7.2.3 二维标量微分方程 132
7.3 二维标量微分方程的有限元解法 133
7.4 结果与讨论 135
7.4.1 频散关系验证 135
7.4.2 完全覆盖电极模型分析 137
7.5 总结 140
参考文献 140
第8章 TE-FBAR二维标量微分方程的应用 142
8.1 理论基础 142
8.1.1 纯厚度模态的受迫振动 142
8.1.2 等效三维模型的受迫振动 146
8.2 完全覆盖电极模型 148
8.2.1 完全覆盖电极模型背景介绍 148
8.2.2 完全覆盖电极模型基本方程 148
8.2.3 完全覆盖电极模型振动分析 149
8.3 二维截面模型的Frame型结构优化 153
8.3.1 Frame型结构背景介绍 153
8.3.2 Frame型结构自由振动分析 154
8.3.3 Frame型结构受迫振动分析 158
8.4 矩形电极模型及其Frame型结构优化 159
8.4.1 矩形电极模型背景介绍 159
8.4.2 矩形电极模型自由振动分析 160
8.4.3 矩形电极模型受迫振动分析 163
8.5 圆形电极模型与椭圆形电极模型 165
8.5.1 圆形、椭圆形电极模型背景介绍 165
8.5.2 圆形电极及其Frame构型自由振动分析 165
8.5.3 圆形电极及其Frame构型受迫振动分析 168
8.5.4 椭圆形电极及其Frame构型自由振动分析 169
8.5.5 椭圆形电极及其Frame构型受迫振动分析 171
8.6 TE-FBAR：五边形电极模型 172
8.6.1 五边形电极模型背景介绍 172
8.6.2 五边形电极自由振动分析 173
8.6.3 五边形电极受迫振动分析 174
8.7 总结 175
参考文献 177
附录 第7章公式详细推导过程 181