各向异性介质中的耗散波——基于频散方程求解的波动特性研究

第1章 绪论
　　1.1 研究背景
　　1.1.1 几种经典的波形
　　本节将根据图1.1所示的主要结构，介绍一些简单情况下的经典波形。
　　图1.1 几种结构
　　1911年，英国力学家 Love首次发现，当半无限大各向同性弹性半空间的表面覆盖一个不同材料的弹性介质层时(图1.1(c))，如果覆盖层固有的剪切波波速小于基底固有的剪切波波速 ，该结构可以传播一种水平剪切波，其位移分量分别为
　　(1.1)
　　后来，该弹性波被命名为 Love波。它是一种表面波，即波的能量主要集中在覆盖层及基底的上表面。同时， Love波是频散波，其相速度与波数和覆盖层的厚度相关，如图1.2所示。由此可见， Love波的相速度起始于半空间材料固有剪切波的相速度 ，随无量纲波数 kh的增加，其值逐渐趋近于覆盖层的剪切波波速；且高阶模态的出现与 kh之间呈现周期性。在截止频率附近，波透入弹性半空间内部的深度很深，它的传播速度与基体材料中横波的速度相接近。随着频率的增高，Love波的传播速度逐渐减小，透入弹性半空间的深度也随之逐渐减小，即波的能量的传播逐渐集中到上覆层。当波长的尺度与上覆层厚度相比小很多时，波的能量的传播基本集中在上覆层中。已有研究结果表明： Love波因只有一个机械位移分量，相对简单可控；在某些频率范围内， Love波具有较高的机电耦合系数和灵敏度，所以在电子器件中应用广泛。
　　图1.2 Love波的相速度-波数曲线(μ为剪切模量)
　　19世纪末英国物理学家 Lord Rayleigh在研究地震波过程中发现了一种集中于地表面传播的声波，后被命名为 Rayleigh波。Rayleigh波是一种能够在半无限大的弹性体表面传播的波，如图1.1(a)所示，三个方向的位移模式可以取为
　　(1.2)
　　它含有两个机械位移分量，质点运动的轨迹是逆时针方向的椭圆，波动随离开自由表面距离的增加而迅速衰减。这种表面波是非频散波，即具有单一的相速度，其值略小于弹性体的体波波速，可表示为。其中相对弹性模量与弹性半空间材料的泊松比相关，即，对于一般的弹性材料，[1]。
　　如果在半无限体的表面覆盖一个区别于弹性体材料的薄层(图1.1(c))，弹性波从自由表面入射，在分界层上发生多次衍射和干涉，这种层状结构也可以传播 Rayleigh波，有时称之为广义 Rayleigh波。与 Rayleigh波及 Love波相比，广义 Rayleigh波的某些传播特点有所不同。
　　首先，广义 Rayleigh波中没有 Love波中存在条件的限制，即薄膜材料的体横波的传播速度 cTB 无论大于还是小于基体中的体横波传播速度 ，广义Rayleigh波都可能出现。当时，薄膜层称为快层；当时，薄膜层称为慢层。但是无论哪种情况，广义 Rayleigh波均为频散波。
　　对于的情况，只存在一种模式，即基模，不存在高次模。在这种情况下，当基体上不存在膜时，基体中传播的是 Rayleigh波；当膜层增厚或频率增高，广义 Rayleigh波的传播速度也会随之逐渐增加，直至增加到与基体的体横波速度
　　相同为止。此时，波的透入深度增加，类似于体横波。对于的情况，则类似于 Love波(只是质点做椭圆振动)，除了具有频散性以外，还有高次模存在。例如，钢半空间(ρ=7800 kg/m3，cL=5941 m/s，cT=3251 m/s)，其上覆盖一层厚度5mm的人工树脂(ρ=1180 kg/m3，cL=2680 m/s，cT=1100 m/s)，相速度-频率曲线如图1.3所示。
　　图1.3 覆盖5mm人工树脂的钢半空间中广义 Rayleigh波的相速度-频率曲线
　　如果将半无限空间换成有限尺寸的平板，如图1.1(b)所示，这种波就称为 Lamb波。Lamb波是由英国物理学家 Horace Lamb于1917年发现的，含有与 Rayleigh波相同的位移分量(如式(1.1)所示)，区别在于：Rayleigh波是在半无限大空间中传播的波，而 Lamb波在有限尺寸的介质中传播，所以 Lamb波的能量不仅仅集中在板的上下表面。通常将 Lamb波分为对称( symmetric)和反对称(anti-symmetric)模态分别加以研究。此外，与 Rayleigh波不同， Lamb波的相速度与板的厚度直接相关，它是一种频散波。关于 Lamb波的频散曲线的示例可见2.5.2节。
　　1968年，美国科学家 Bleustein和苏联科学家 Gulyaev几乎同时从理论上证明了横观各向同性压电陶瓷半空间(图1.1(a))中可单独存在一种与 Love波具有相同位移模式的水平剪切波，如果材料的压电性能消失，则该水平剪切波也不复存在。这种波被命名为 Bleustein-Gulyaev(B-G)波或 Gulyaev-Bleustein(G-B)波。随后不久，日本东北大学的 Shimizu教授团队独立地从实验上证明了这种波的存在，所以在很多期刊的文章中也有专家学者把这种波称为 B-G-S波。
　　B-G波的位移模式与 Love波相同，在压电材料中位移矢量 u和电势函数可取为
　　(1.3)
　　横观各向同性压电陶瓷半空间中的 B-G波是非频散波。电学开路的情况下，其相速度值为；电学短路的情况下，其值变为，其中，为压电材料固有的剪切波波速(这里，为有效压电刚度)；为压电耦合系数；ε0为空气中的介电常数。由此可见，当压电耦合系数 K152.0时，上述两种情况下的相速度均为 csh，即为弹性半空间的固有剪切波波速。这也解释了为什么 B-G波不能够单独在弹性半空间中传播。 B-G波不仅存在于横观各向同性压电材料中，而且在其他压电材料中也能够传播，甚至在某些压电压磁材料中也存在这种波。除此之外，压电复合层状结构中也能够传播 B-G波，此时 B-G波的相速度不再唯一，而是与波长和厚度密切相关，所以此时 B-G波是一种频散波。
　　除了上述几种情况，经典波形中还有一种较为少见的 Stoneley波。Stoneley波具有与 Rayleigh波和 Lamb波相同的机械位移分量，它是一种沿着两个半无限大弹性半空间的连接界面(图1.1(d))传播的表面波，且位移分量沿垂直于界面的方向指数衰减。研究结果表明， Stoneley波还可以沿流体半空间和弹性固体半空间的界面传播。近年来，也有关于 Stoneley波在不同材料组合以及不同边界条件下的传播特性的研究。如果两个弹性半无限大空间中至少有一个是压电材料，那么含有单一机械位移分量的水平剪切波也可以在它们的界面连接处进行传播， Maerfeld和 Tournois两位科学家首先从理论上证明了这一点，有的文献中称这种波为“ Maerfeld-Tournois波”。Stoneley波对材料和结构的要求比较高，只有当上下两个半空间固有体波波速几乎相等时才能够存在；另外，在现有的器件中，很难找到同时拥有两个半无限大空间的实例，这些不利因素也限制了 Stoneley波和 Maerfeld-Tournois波在电子器件中的应用。
　　1.1.2 复杂材料中波动频散方程的特性
　　超声导波在实际工程中有着广泛的应用背景，如基于压电效应的各种声波传感器、谐振器、滤波器[2，3]，具有尺寸小、精度高、灵敏度高等一系列特点，这类器件广泛应用于通信传感领域。掌握导波在器件中传播的一般性规律，如波的频率、振型分布、多场耦合强弱特性可以用于器件设计、性能优化等。此外，超声导波也广泛应用于无损检测以及结构健康监测技术中[4，5]，利用导波可以进行快速大范围的缺陷定位及损伤评估。这类应用需要提前掌握待监测的特定结构中的导波频散曲线，选择昀合适的导波模态进行传播探测。
　　不同于弹性各向同性材料(如普通金属材料)，复杂材料中波传播机制的研究难点主要有以下几点：
　　(1)多物理场耦合，如压电薄膜中的力电耦合[6-10]、压电半导体材料中的力电载流子耦合[11-13]等，这些耦合场的特征及强弱直接决定了器件的工作原理和性能好坏，同时也增加了理论研究的难度。
　　(2)强各向异性[14-16]，如利用导波对复合材料[4，5，17]进行无损检测时，必须考虑到材料具有较强的各向异性，与各向同性材料相比，波的频散关系更加复杂。
　　(3)波的能量损耗，在许多材料中，波传播时能量会有损耗，如半导体中波传播时载流子迁移造成的损耗[18]，以及阻尼材料中波传播的损耗[14-16]。这些损耗不但导致理论求解困难，也十分影响结构中的传播特性，无法忽视，如无损检测中，损耗大的导波无法传播较远距离，不适用于实际应用。
　　为了适应复杂材料中波动特性的研究需要，必须要有计算导波频散曲线的高效普适性方法。为此本书提出了一种计算波动频散方程的新算法，为了展示该算法的独特性和适用性，对现存计算方法进行如下的总体分类及回顾。
　　1.2 现存的两大类计算方法
　　1.2.1 解析频散方程的根搜索算法
　　研究结构中波传播问题的解析方法为推导解析波动频散方程，并进一步求解该方程。推导解析波动频散方程的过程为，首先假设简谐波解，代入波动控制方程中，可以得到满足控制方程的一般解。再将简谐波的一般解代入相应的边界条件和连续性条件中，可以得到频率与波数(或者频率与相速度)的关系，即频散方程。这一推导过程有传递矩阵法、全局矩阵法等[19]。这步工作的主要难点是推导的频散方程要有良好的数值稳定性，特别是在大频厚积的情况下[16，19]。
　　推导得到频散方程后，需要进一步求解该频散方程。而不同材料结构中的波动方程、边界条件以及连续性条件各不相同，昀终得到的频散方程形式差别很大。有些情况下得到的频散方程比较简单，能够直接求解，例如单层板中的 SH波[20]。而一般情况下，频散方程为一个关于频率ω和传播方向上的波数 k的复杂超越方程 g(ω， k)=0，传统的计算方法无法求解。具体来说，以下特征导致了频散方程求解的困难。
　　1.方程含有复参数
　　简谐解假设中含有虚数单位，经过求导以及一般解的线性叠加后，频散方程通常难以简化为纯实数方程，这导致了求解纯实数方程的算法无法使用，例如二分法。
　　2.方程表达式复杂
　　在某些单层结构中，由于边界条件和连续性条件较少，频散方程虽为一个超越方程，但其形式较为简单，可以通过对方程的渐近性质进行讨论求解[21]。而在层状结构中，随着子层数目的增多，连续性条件增多，昀终的频散方程表达式十分复杂。另外在多场耦合的材料中，需要考虑位移应力以外的物理量，如压电材料中的电势和电位移等，这也会增加频散方程表达式的复杂度。因此，通过对方程具体形式进行讨论求解的方法一般也不可行。
　　3.方程含有没有显式表达式的参数
　　推导频散方程的第一步是得到满足控制方程的一般简谐解。这个过程昀终为求解矩阵特征值或特征多项式的根，在一般各向异性材料或者多场耦合材料中，需要考虑6个或更多的物理量，此时的特征多项式次数较高，没有简单的根式解表达式。这些解必须通过数值计算得到，因而再次代入边界条件和连续性条件后，得到的频散方程中含有数值解的参数，这也加大了频散方程的求解困难。

频散方程的计算，特别是涉及能量耗散系统复波数域中三维曲线的求解，是一个十分复杂的问题。《各向异性介质中的耗散波：基于频散方程求解的波动特性研究》提出了一种新的超越方程求解算法，结合超声导波的应用背景，以该算法为基础，系统研究了多种复杂材料层合结构中波传播的耗散问题，包括压电复合结构中的介电损耗、电极电阻、压电半导体结构中的载流子迁移以及一般各向异性复合结构中材料的黏弹性等引起的能量损耗。

目录
序言
前言
第1章 绪论 1
1.1 研究背景 1
1.1.1 几种经典的波形 1
1.1.2 复杂材料中波动频散方程的特性 5
1.2 现存的两大类计算方法 5
1.2.1 解析频散方程的根搜索算法 5
1.2.2 离散数值计算方法 9
1.2.3 两类方法的优缺点对比 9
1.3 新根搜索算法简介 10
1.3.1 零点判别法则示例 10
1.3.2 避免漏根的多种根搜索方式 11
1.4 基于新算法开展的研究工作 13
参考文献 14
第2章 多元超越方程的求解算法 18
2.1 引言 18
2.2 零点判别法则：以求解单变量超越方程为例 19
2.2.1 寻找函数模的局部极小值点 19
2.2.2 从局部极小值点中区分出零点 20
2.3 求解频散方程的两种根搜索方式 22
2.3.1 纯实、纯虚波数频散方程的求解 22
2.3.2 复波数频散方程的求解 23
2.4 求解复数域一般任意元超越方程(组)的根搜索方式 24
2.5 一些经典频散方程的计算算例 26
2.5.1 无限大压电板中的水平剪切(SH)波 26
2.5.2 各向同性单层板中的Lamb波 29
2.6 本章小结 32
参考文献 32
第3章 薄膜体声波谐振器(FBAR)压电复合结构中的波动特性 34
3.1 引言 34
3.2 惯性电极薄膜体声波谐振器中的波动研究 35
3.2.1 平面应变波频散方程的推导 36
3.2.2 平面应变波的频散曲线结果 39
3.2.3 反平面剪切波 42
3.3 弹性电极薄膜体声波谐振器中的波动研究 44
3.3.1 弹性电极模型中的频散方程推导 44
3.3.2 弹性电极模型中的频散曲线、振型及惯性模型频率误差 46
3.4 弹性电极薄膜体声波谐振器在介电损耗下的波动特性 51
3.5 本章小结 53
参考文献 54
第4章 电导对压电结构中Lamb 波传播特性的影响 55
4.1 引言 55
4.2 理论推导 55
4.2.1 模型设置 55
4.2.2 不同区域的控制方程和总的频散方程 56
4.3 不同电导下的频散特征 59
4.3.1 材料参数及结构尺寸 59
4.3.2 高电导(短路)和零电导的频散曲线和振型 60
4.3.3 一般电导的频散曲线和振型 64
4.4 本章小结 67
参考文献 67
第5章 压电半导体俘能器中的波动特性 69
5.1 引言 69
5.2 理论推导 70
5.2.1 压电半导体控制方程 70
5.2.2 反平面问题 71
5.2.3 SH波的频散方程 72
5.3 压电半导体板中SH 波频散曲线及振型 73
5.3.1 频散曲线及其尺度依赖性 73
5.3.2 不同模态的振型特征 76
5.4 考虑与忽略半导体效应的对比 80
5.4.1 有无半导体效应电势量级的差异 81
5.4.2 半导体效应对载流子/电荷分布的影响 83
5.4.3 有无半导体效应电势分布的差异 83
5.4.4 变形恢复阶段俘获能量的理论可行性 84
5.5 压电半导体电势幅值的影响因素 85
5.5.1 波的相同模态上电势变化的规律 85
5.5.2 n型和p型半导体的电势幅值对比 87
5.6 本章小结 89
参考文献 90
第6章 一般各向异性(三斜晶系)黏弹性单层板及复合板结构中的波动特性 93
6.1 引言 93
6.2 一般各向异性材料、黏弹性模型以及频散方程推导 93
6.3 与有限元数值解法对比验证 96
6.3.1 半解析有限元法简介 96
6.3.2 与半解析有限元法的结果对比 96
6.4 两种黏弹性模型三维频散曲线的对比以及与纯弹性模型对比 99
6.4.1 波衰减跳跃和频散分支交换的特殊特征 104
6.4.2 振型转换、频散分支转向的区域内阻尼引起的波的衰减特征 107
6.5 一般各向异性与各向同性黏弹性/弹性材料的对比 112
6.6 本章小结 115
参考文献 116
第7章 双层各向异性黏弹性结构中界面从完美到分层的波动特性变化 117
7.1 引言 117
7.2 DVP法推导带有不完美界面的多层复合结构中的频散方程 117
7.3 两种整体坐标系下不同取向的材料参数变换 121
7.4 完美界面双层结构中本书算法与半解析法的结果对比 125
7.5 界面黏接刚度很小时(完全分层)双层结构中的频散曲线 128
7.6 从完美界面到完全分层的频散曲线及振型的演化规律 133
7.7 本章小结 140
参考文献 141
附录 算法伪代码 142